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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2025

7 ejercicios

Instrucciones

La prueba consta de cuatro partes: la primera no tiene diferentes opciones, y las otras tres tienen dos posibles problemas, a contestar uno. En caso de contestar dos problemas de una misma parte, solo se evaluará el primero. Justificad las respuestas usando lenguaje matemático y/o no matemático, según corresponda. Se permite utilizar calculadora científica básica, pero NO se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de dispositivos que puedan transmitir o almacenar información. Se pueden usar reglas y bolígrafos de colores (excepto rojo y verde).

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Part A
Un grupo de investigación de la Escuela Politécnica Superior de la UIB participó en diciembre de 2023 en un estudio de las profundidades marinas. El equipo desplegó diversas tecnologías marinas avanzadas con la finalidad de explorar y recoger datos de hábitats marinos a una profundidad de 350 m350\,\text{m}. Por este motivo, una embarcación con el equipo de investigación se dirigió hacia unas coordenadas marinas específicas.
Representación de un barco en el origen O y un dispositivo sumergido verticalmente en el eje Z negativo.
a
Una vez llegados al punto deseado de la superficie del mar, llamémosle O, sumergieron un dispositivo verticalmente 315 m315\,\text{m} (véase la figura). Seguidamente, este se desplazó 37 m37\,\text{m} sobre la recta{x=035y+12z=−3780\begin{cases} x = 0 \\ 35y + 12z = -3780 \end{cases}hasta alcanzar la profundidad deseada. Calcula el punto donde se situó el dispositivo después de este movimiento considerando el punto O el centro de referencia (el origen de coordenadas).1 pt
b
¿Si queremos mantener la profundidad deseada (350 m350\,\text{m}), sobre qué plano se debe desplazar el dispositivo?0,5 pts
c
Se deja que el dispositivo se desplace libremente sobre el plano calculado en el apartado b) y se va monitorizando desde el barco. Con un GPS se ha detectado, desde el barco, la presencia de un objeto (posiblemente un pez) que se desplaza en línea recta sobre la trayectoria{x=5+4λy=10+λz=−380+10λ\begin{cases} x = 5 + 4\lambda \\ y = 10 + \lambda \\ z = -380 + 10\lambda \end{cases}Si dicho objeto no cambia su trayectoria, ¿podría chocar contra el dispositivo? En caso afirmativo, ¿en qué punto podría ocurrir la colisión?1 pt
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Ejercicio 1 · A · Part B

1Opción A
2,5 puntos
Part B

Elija solo un problema de esta parte (B1 o B2).

Una empresa de construcción necesita comprar diferentes materias primas para elaborar sus productos. Se construyen 4 productos diferentes, los cuales requieren una cierta cantidad de madera (que tiene un costo de xx €/kg), de hierro (que tiene un costo de yy €/kg) y de plástico (que tiene un costo de zz €/kg). Para la elaboración de los diferentes productos se ha recopilado la siguiente información sobre el coste en materias primas: Producto 1: 2x+y−z=402x + y - z = 40 € Producto 2: x−y+2z=90x - y + 2z = 90 € Producto 3: x+2y=70x + 2y = 70 € Producto 4: x−y+z=50x - y + z = 50 €
a
Describe qué significa la ecuación del producto 1.0,5 pts
b
Con los datos de que disponemos, ¿es posible calcular el precio del kg de cada materia primera? Es decir, ¿calcular x,y,zx, y, z? Justifica tu respuesta.2 pts
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Ejercicio 1 · A · Part C

1Opción A
2,5 puntos
Part C

Elija solo un problema de esta parte (C1 o C2).

La función que describe la altitud AA de un terreno (en metros) sobre un tramo de 500500 metros esA(x)=−0,0001x3+0,05x2−4x+200A(x) = -0{,}0001x^3 + 0{,}05x^2 - 4x + 200donde x∈[0,500]x \in [0, 500] es la distancia recorrida horizontalmente, medida en metros.
a
Demuestra que existe al menos un punto xx donde la altitud es 00 dentro del tramo considerado. Indicación: se puede hacer uso del teorema de Bolzano.1,5 pts
b
Estudia los puntos críticos de la función y su crecimiento/decrecimiento para concluir si este punto es único o no. ¿Lo es? Justifica la respuesta.1 pt
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Ejercicio 1 · A · Part D

1Opción A
2,5 puntos
Part D

Elija solo un problema de esta parte (D1 o D2).

Supongamos que la probabilidad de tener tuberculosis es de 0,00050{,}0005. Sabiendo que la probabilidad de que la prueba dé positivo sabiendo que la enfermedad está presente es del 99%99\% y la probabilidad de que dé negativo cuando no lo está también es del 99%99\%, contesta:
a
¿Cuál es la probabilidad de que el test dé positivo si la persona no tiene la enfermedad?1,25 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de tener tuberculosis si el resultado de la prueba es negativo?1,25 pts
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Ejercicio 2 · B · Part B

2Opción B
2,5 puntos
Part B

Elija solo un problema de esta parte (B1 o B2).

Sean AA y BB dos matrices 3×33 \times 3 tales que AA es invertible. Sea II la matriz identidad de dimensión 3×33 \times 3.
a
Sabiendo que AB+I=AAB + I = A, calcula la inversa de AA en función de II y BB.1 pt
b
Sabiendo que AA y su inversa A−1A^{-1} son tales queA=(01−11−11120),A−1=12(220−1−11−3−11)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}calcula la matriz BB que satisface la igualdad AB+I=AAB + I = A. ¿Es BB invertible? Justifica la respuesta.1,5 pts
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Ejercicio 2 · B · Part C

2Opción B
2,5 puntos
Part C

Elija solo un problema de esta parte (C1 o C2).

Dada la funciónf(x)=1xln⁡(2x)f(x) = \frac{1}{x} \ln(2x)
a
Determina el dominio de la función y el comportamiento de la función en los extremos de su dominio.1 pt
b
Calcula el área comprendida entre f(x)f(x), el eje de abscisas y las rectas x=12x = \frac{1}{2} y x=5x = 5.1,5 pts
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Ejercicio 2 · B · Part D

2Opción B
2,5 puntos
Part D

Elija solo un problema de esta parte (D1 o D2).

En una universidad española, el 55%55\% del alumnado son mujeres y el 45%45\% son hombres. En esta universidad, el 13%13\% de las mujeres estudian una carrera STEM, mientras que el 37%37\% de los hombres también estudian una. Si escogemos un estudiante al azar:
a
¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante escogido estudie STEM?0,75 pts
b
Sabiendo que el estudiante escogido estudia STEM, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?1 pt
c
Sabiendo que el estudiante escogido NO estudia STEM, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?0,75 pts
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