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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2006Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2006

6 ejercicios

Instrucciones

Responder solamente a una de las opciones de cada bloque temático.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Bloque 1Álgebra lineal

Responda a la Opción 1 o a la Opción 2 (solo una).

Dada la matriz A=(m0110m0−10)A = \begin{pmatrix} m & 0 & 1 \\ 1 & 0 & m \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
a
Calcula los valores del parámetro mm para los que AA tiene inversa.1 pt
b
Para m=0m = 0, calcula A3A^3 y A25A^{25}.1 pt
c
Para m=0m = 0, calcula la matriz XX que verifica X⋅A=BX \cdot A = B, siendo B=(0,−1,−1)B = (0, -1, -1).1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
Bloque 1Álgebra lineal

Responda a la Opción 1 o a la Opción 2 (solo una).

a
Discute e interpreta geométricamente, según los valores del parámetro mm, el sistema:{2x−y+z=0x−2y+z=mmx−y+z=0\begin{cases} 2x - y + z = 0 \\ x - 2y + z = m \\ mx - y + z = 0 \end{cases}2 pts
b
Resuélvelo, si es posible, para los casos m=0m = 0 y m=2m = 2.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
Bloque 2Geometría

Responda a la Opción 1 o a la Opción 2 (solo una).

a
Definición e interpretación geométrica del producto vectorial de dos vectores en R3\mathbb{R}^3.1 pt
b
Calcula los vectores unitarios y perpendiculares a los vectores u⃗=(1,−2,2)\vec{u} = (1, -2, 2) y v⃗=(1,0,1)\vec{v} = (1, 0, 1).1 pt
c
Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por el punto (1,1,1)(1, 1, 1) y los vectores u⃗=(1,−2,2)\vec{u} = (1, -2, 2) y v⃗=(1,0,1)\vec{v} = (1, 0, 1).1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
3 puntos
Bloque 2Geometría

Responda a la Opción 1 o a la Opción 2 (solo una).

Dado el plano π:2x+λy+3=0\pi: 2x + \lambda y + 3 = 0 y la recta r:{x+2y−2z+6=07x−y−2z=0r: \begin{cases} x + 2y - 2z + 6 = 0 \\ 7x - y - 2z = 0 \end{cases}
a
Calcula el valor de λ\lambda para que la recta rr y el plano π\pi sean paralelos. Para ese valor de λ\lambda, calcula la distancia entre rr y π\pi.1,5 pts
b
¿Para algún valor de λ\lambda, la recta está contenida en el plano π\pi? Justifica la respuesta.0,75 pts
c
¿Para algún valor de λ\lambda, la recta y el plano π\pi son perpendiculares? Justifica la respuesta.0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
4 puntos
Bloque 3Análisis

Responda a la Opción 1 o a la Opción 2 (solo una).

a
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)=(x+1)e−xf(x) = (x + 1)e^{-x} en el punto de corte de f(x)f(x) con el eje OXOX.1 pt
b
Calcula, para f(x)=(x+1)e−xf(x) = (x + 1)e^{-x}: intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión, concavidad y convexidad.2 pts
c
Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo integral.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
4 puntos
Bloque 3Análisis

Responda a la Opción 1 o a la Opción 2 (solo una).

a
Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo diferencial.1 pt
b
De entre todos los triángulos rectángulos con hipotenusa 10 cm10\,\text{cm}, calcula las longitudes de los catetos que corresponden al de área máxima.1,5 pts
c
Calcula el valor de mm para que el área del recinto limitado por la recta y=mxy = mx y la curva y=x3y = x^3 sea 22 unidades cuadradas.1,5 pts
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