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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCantabriaPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Cantabria 2015

3 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elija una de las dos opciones. No se admitirá ningún resultado si no está debidamente razonado. No se permite calculadoras gráficas, ni programables. Está prohibido el uso de teléfonos móviles.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,5 puntos
a
Determinar, según los valores del parámetro aa, los casos en los que el siguiente sistema tiene o no tiene solución.{−x+3y=ax+2y=−24x+3y=3a\begin{cases} -x + 3y = a \\ x + 2y = -2 \\ 4x + 3y = 3a \end{cases}3 pts
b
Resolver los casos compatibles.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Dada la función f(x)=x+1x2−3xf(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 3x}, determinar:
a
El dominio de definición y los puntos de corte con los ejes.0,2 pts
b
Las asíntotas.1,1 pts
c
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen.1,1 pts
d
Finalmente, con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibujar su gráfica.1,1 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
En una determinada población se han organizado tres asociaciones de vecinos, correspondientes a los tres principales barrios del pueblo. De todos los vecinos pertenecientes a alguna de ellas, el 35%35\% pertenece a la asociación A, el 40%40\% a la B y el 25%25\% a la C. Entre los socios de la A, sólo el 10%10\% está satisfecho con la labor realizada por su asociación en el último año. En el caso de la B, el porcentaje de socios satisfechos es del 60%60\% y en la C es del 45%45\%.
a
¿Cuál es la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar de entre todos los pertenecientes a alguna de las tres asociaciones, sea socio de la A y esté satisfecho con la labor realizada el último año?1 pt
b
Si uno de los vecinos perteneciente a alguna agrupación está insatisfecho con ella, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la B?1 pt
c
¿Cuál es la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar de entre todos los pertenecientes a alguna de las tres asociaciones, esté insatisfecho con la labor realizada el último año?1 pt
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Ejercicio 1

1
3,5 puntos
a
Dada la matriz A=(23−140−k2−13)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & 0 & -k \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}, analizar su rango según los valores del parámetro kk.1,5 pts
b
Para k=5k = 5, ¿la matriz AA del apartado A) tiene inversa? Justificar la respuesta, utilizando los resultados obtenidos en el apartado anterior.0,25 pts
c
Consideremos la matriz AA del apartado A) para k=0k = 0 y las matrices B=(1230−12101)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} y C=(210102)C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. Resolver la ecuación matricial AX+C=BXAX + C = BX.1,75 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Dada la funciónf(x)={ax+2,si x<−1x−2(x+3)2,si −1≤x<3x2−2x+b,si x≥3f(x) = \begin{cases} ax + 2, & \text{si } x < -1 \\ \frac{x - 2}{(x + 3)^2}, & \text{si } -1 \leq x < 3 \\ x^2 - 2x + b, & \text{si } x \geq 3 \end{cases}
a
Determinar los valores de los parámetros aa y bb para los cuales la función es continua en todo su dominio.1,75 pts
b
Calcular la integral definida∫02f(x)dx\int_{0}^{2} f(x) dx1,75 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Datos
  • F(x)=p(X≤x)=∫−∞x12πe−12t2dtF(x) = p(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
Gráfica de la función de densidad de la distribución normal estándar con el área sombreada hasta el valor x.
a
Los gastos diarios de una familia española de clase media en una ciudad A siguen una distribución normal de media desconocida y desviación típica 1010 euros. Para estimar el gasto medio se elige una muestra de 350350 familias. ¿Con qué nivel de confianza debe realizarse la estimación si el error cometido es de 1,451{,}45 euros?1,5 pts
b
Se realiza la misma encuesta en otra ciudad, B. En este caso, los gastos diarios de una familia de clase media siguen una distribución normal con desviación típica 4,54{,}5 euros. Con una muestra aleatoria de 300300 familias se ha obtenido un gasto medio de 5353 euros. Obtener el intervalo de confianza del 94%94\% para el gasto medio diario.1,5 pts
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