Matemáticas II · Navarra 2020

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a^2 - 2)x + 2y + z = a + 2 \\ (a^2 - 2)x + 4y + (a + 1)z = a + 6 \\ (a^2 - 2)x + 2y + (2 - a)z = a + \sqrt{2} \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

El plano $\pi$ pasa por los puntos $P_1(2, 0, 5)$, $P_2(1, -2, 2)$ y $P_3(3, -1, 2)$. Una esfera con centro en $C(0, 1, -3)$ toca al plano en un único punto. Calcula el radio de la esfera y el punto de intersección.

Calcula las integrales indefinidas:

Sea la función $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} + \ln \frac{x^2 + 2}{3} & x < 1 \\ \frac{x^2}{3} & x \geq 1 \end{cases}$

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \end{pmatrix}$. Determina la matriz $X$ tal que $AX = B$.

Calcula la ecuación continua de la recta $t$ sabiendo que corta perpendicularmente a las siguientes rectas: $$r \equiv \begin{cases} x + 2y + z - 1 = 0 \\ x + 3z - 7 = 0 \end{cases} \quad y \quad s \equiv \frac{x + 2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{0}$$

Calcula los extremos absolutos de la función $f(x) = e^{\pi x} \cdot \sen(\pi x)$ en el intervalo $[1/2, 2]$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Sean las funciones $f(x) = \frac{x}{2} + 1$ y $g(x) = \sqrt{x - 2} + 2$. Encuentra los dos puntos en los que se cortan sus gráficas, y calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.