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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Realiza cuatro preguntas de las ocho que se presentan. La duración de la prueba es de 90 minutos. Se calificará de 0 a 10 puntos, redondeando a cuartos de punto. Se debe responder exclusivamente a cuatro de los problemas planteados. Si alguien responde a más de cuatro, solo se sumarán las cuatro peores puntuaciones. Se tendrá en cuenta el planteamiento seguido para la resolución del problema y la claridad en la exposición. Si es pertinente, se valorará la referencia a los resultados teóricos usados. Para la penalización de los errores en los cálculos, se tendrá en cuenta: si son consecuencia de no haber seguido el procedimiento más adecuado; si reflejan fallos de concepto; si producen simplificaciones relevantes; si ocurren con reiteración.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{(a2−2)x+2y+z=a+2(a2−2)x+4y+(a+1)z=a+6(a2−2)x+2y+(2−a)z=a+2\begin{cases} (a^2 - 2)x + 2y + z = a + 2 \\ (a^2 - 2)x + 4y + (a + 1)z = a + 6 \\ (a^2 - 2)x + 2y + (2 - a)z = a + \sqrt{2} \end{cases}Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
El plano π\pi pasa por los puntos P1(2,0,5)P_1(2, 0, 5), P2(1,−2,2)P_2(1, -2, 2) y P3(3,−1,2)P_3(3, -1, 2). Una esfera con centro en C(0,1,−3)C(0, 1, -3) toca al plano en un único punto. Calcula el radio de la esfera y el punto de intersección.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcula las integrales indefinidas:
a
∫x−7x2+x−6dx\int \frac{x - 7}{x^2 + x - 6} dx1,25 pts
b
∫e2xsen⁡(2x+1)dx\int e^{2x} \sen(2x + 1) dx1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la función f(x)={13+ln⁡x2+23x<1x23x≥1f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} + \ln \frac{x^2 + 2}{3} & x < 1 \\ \frac{x^2}{3} & x \geq 1 \end{cases}
a
Demuestra que la función es derivable en todo R\mathbb{R}.1 pt
b
Demuestra que existe un valor α∈(0,2)\alpha \in (0, 2) tal que f′(α)=1f'(\alpha) = 1. Enuncia el (los) resultado(s) teórico(s) utilizado(s) y justifica su uso.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sean las matrices A=(2−1−11)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} y B=(−61)B = \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \end{pmatrix}. Determina la matriz XX tal que AX=BAX = B.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Calcula la ecuación continua de la recta tt sabiendo que corta perpendicularmente a las siguientes rectas:r≡{x+2y+z−1=0x+3z−7=0ys≡x+22=y1=z+30r \equiv \begin{cases} x + 2y + z - 1 = 0 \\ x + 3z - 7 = 0 \end{cases} \quad y \quad s \equiv \frac{x + 2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{0}
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Calcula los extremos absolutos de la función f(x)=eπx⋅sen⁡(πx)f(x) = e^{\pi x} \cdot \sen(\pi x) en el intervalo [1/2,2][1/2, 2]. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Sean las funciones f(x)=x2+1f(x) = \frac{x}{2} + 1 y g(x)=x−2+2g(x) = \sqrt{x - 2} + 2. Encuentra los dos puntos en los que se cortan sus gráficas, y calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.
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