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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2011

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Una heladería vende helados de una, dos y tres bolas a uno, dos y tres euros respectivamente. El viernes ha vendido 157 helados obteniendo 278 euros y sabemos que el número de helados de una bola vendidos es kk veces el número de helados de tres bolas.
a
Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita averiguar cuantos helados de cada tipo se han vendido.1 pt
b
Estudia para que valores del parámetro kk el sistema tiene solución. ¿Es posible que se hayan vendido el mismo número de helados de una bola que de tres bolas?1,25 pts
c
Para k=3k = 3, calcula cuantos helados de cada tipo se han vendido.1 pt
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Considera la función: f(x)=2x2−4xf(x) = \frac{2}{x^2 - 4x}
a
Calcula el dominio y las asíntotas de la función ff.1,25 pts
b
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ff. Dibuja su gráfica.1,25 pts
c
Calcula la integral ∫f(x) dx\int f(x) \, dx1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera los vectores u⃗=(a,a,−3)\vec{u} = (a, a, -3), v⃗=(1,−1,a)\vec{v} = (1, -1, a) y w⃗=(1,2,3)\vec{w} = (1, 2, 3).
a
Determina para qué valores del parámetro aa, los vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} son linealmente dependientes.1 pt
b
Para a=2a = 2, calcula la ecuación general del plano π\pi que pasa por el punto P=(1,4,0)P = (1, 4, 0) y cuyos vectores directores son u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.1 pt
c
Determina el valor del parámetro aa para que los vectores v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} sean ortogonales y calcula el área del rectángulo que tiene por lados estos dos vectores.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considera las matrices A=(1xxy0yzyz)A = \begin{pmatrix} 1 & x & x \\ y & 0 & y \\ z & y & z \end{pmatrix}, B=(32m)B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & m \end{pmatrix} y C=(201)C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
a
Determina para qué valores de x,y,zx, y, z la matriz AA no tiene inversa.1 pt
b
Determina para qué valores del parámetro mm el sistema dado por B⋅A=CB \cdot A = C tiene solución.1,25 pts
c
Resuelve el sistema anterior para m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Considera la función: f(x)={x2+ax−1si x≤1−bx2+xsi x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + ax - 1 & \text{si } x \leq 1 \\ -bx^2 + x & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
Calcula el valor de los parámetros aa y bb para que la función ff sea continua y derivable para todo x∈Rx \in \mathbb{R}.2 pts
b
Para dichos valores de aa y bb, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff y sus extremos relativos.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera el punto P=(−1,−1,−12)P = (-1, -1, -12) y el plano π\pi que contiene a los puntos A=(1,−1,1)A = (1, -1, 1), B=(1,3,2)B = (1, 3, 2) y O=(0,0,0)O = (0, 0, 0).
a
Calcula la ecuación general del plano π\pi.0,75 pts
b
Calcula la ecuación de la recta rr que pasa por el punto PP y es perpendicular al plano π\pi.0,75 pts
c
Halla el punto CC dado por la intersección de la recta rr con el plano π\pi y calcula el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.1,75 pts
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