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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2011

6 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3,25 puntos
Una heladería vende helados de una, dos y tres bolas a uno, dos y tres euros respectivamente. El viernes ha vendido 157 helados obteniendo 278 euros y sabemos que el número de helados de una bola vendidos es kk veces el número de helados de tres bolas.
a)1 pts
Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita averiguar cuantos helados de cada tipo se han vendido.
b)1,25 pts
Estudia para que valores del parámetro kk el sistema tiene solución. ¿Es posible que se hayan vendido el mismo número de helados de una bola que de tres bolas?
c)1 pts
Para k=3k = 3, calcula cuantos helados de cada tipo se han vendido.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3,25 puntos
Considera las matrices A=(1xxy0yzyz)A = \begin{pmatrix} 1 & x & x \\ y & 0 & y \\ z & y & z \end{pmatrix}, B=(32m)B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & m \end{pmatrix} y C=(201)C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
a)1 pts
Determina para qué valores de x,y,zx, y, z la matriz AA no tiene inversa.
b)1,25 pts
Determina para qué valores del parámetro mm el sistema dado por B⋅A=CB \cdot A = C tiene solución.
c)1 pts
Resuelve el sistema anterior para m=1m = 1.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3,5 puntos
Considera la función: f(x)=2x2−4xf(x) = \frac{2}{x^2 - 4x}
a)1,25 pts
Calcula el dominio y las asíntotas de la función ff.
b)1,25 pts
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ff. Dibuja su gráfica.
c)1 pts
Calcula la integral ∫f(x) dx\int f(x) \, dx
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3,5 puntos
Considera la función: f(x)={x2+ax−1si x≤1−bx2+xsi x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + ax - 1 & \text{si } x \leq 1 \\ -bx^2 + x & \text{si } x > 1 \end{cases}
a)2 pts
Calcula el valor de los parámetros aa y bb para que la función ff sea continua y derivable para todo x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)1,5 pts
Para dichos valores de aa y bb, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff y sus extremos relativos.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3,25 puntos
Considera los vectores u⃗=(a,a,−3)\vec{u} = (a, a, -3), v⃗=(1,−1,a)\vec{v} = (1, -1, a) y w⃗=(1,2,3)\vec{w} = (1, 2, 3).
a)1 pts
Determina para qué valores del parámetro aa, los vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} son linealmente dependientes.
b)1 pts
Para a=2a = 2, calcula la ecuación general del plano π\pi que pasa por el punto P=(1,4,0)P = (1, 4, 0) y cuyos vectores directores son u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.
c)1,25 pts
Determina el valor del parámetro aa para que los vectores v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} sean ortogonales y calcula el área del rectángulo que tiene por lados estos dos vectores.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3,25 puntos
Considera el punto P=(−1,−1,−12)P = (-1, -1, -12) y el plano π\pi que contiene a los puntos A=(1,−1,1)A = (1, -1, 1), B=(1,3,2)B = (1, 3, 2) y O=(0,0,0)O = (0, 0, 0).
a)0,75 pts
Calcula la ecuación general del plano π\pi.
b)0,75 pts
Calcula la ecuación de la recta rr que pasa por el punto PP y es perpendicular al plano π\pi.
c)1,75 pts
Halla el punto CC dado por la intersección de la recta rr con el plano π\pi y calcula el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.
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