Matemáticas CCSS · Madrid 2012

Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real $a$: $$\begin{cases} x + ay - 7z = 4a - 1 \\ x + (1 + a)y - (a + 6)z = 3a + 1 \\ ay - 6z = 3a - 2 \end{cases}$$

Un estadio de fútbol con capacidad para 72000 espectadores está lleno durante la celebración de un partido entre los equipos A y B. Unos espectadores son socios del equipo A, otros lo son del equipo B, y el resto no son socios de ninguno de los equipos que están jugando. A través de la venta de localidades sabemos lo siguiente: (a) No hay espectadores que sean socios de ambos equipos simultáneamente. (b) Por cada 13 socios de alguno de los dos equipos hay 3 espectadores que no son socios. (c) Los socios del equipo B superan en 6500 a los socios del equipo A. ¿Cuántos socios de cada equipo hay en el estadio viendo el partido?

Una empresa vinícola tiene plantadas 1200 cepas de vid en una finca, produciendo cada cepa una media de $16\,\text{kg}$ de uva. Existe un estudio previo que garantiza que por cada cepa que se añade a la finca, las cepas producen de media $0{,}01\,\text{kg}$ menos de uva cada una. Determínese el número de cepas que se deben añadir a las existentes para que la producción de uvas de la finca sea máxima.

Se considera la función real de variable real definida por $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{si } x \leq 1 \\ -x^2 + 4x - 3 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

En un tribunal de la prueba de acceso a las enseñanzas universitarias oficiales de grado se han examinado 80 alumnos del colegio A, 70 alumnos del colegio B y 50 alumnos del colegio C. La prueba ha sido superada por el $80\,\%$ de los alumnos del colegio A, el $90\,\%$ de los del colegio B y por el $82\,\%$ de los del colegio C.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que: $$P(A \cap B) = 0{,}1 \quad P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}6 \quad P(A | B) = 0{,}5$$ Nota: $\overline{S}$ denota el suceso complementario del suceso $S$. $P(S | T)$ denota la probabilidad del suceso $S$ condicionada al suceso $T$.

Se supone que el peso en kilogramos de los alumnos de un colegio de Educación Primaria el primer día del curso se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a $2{,}8\,\text{kg}$. Una muestra aleatoria simple de 8 alumnos de ese colegio proporciona los siguientes resultados (en kg):

Se supone que el gasto que hacen los individuos de una determinada población en regalos de Navidad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica igual a $45$ euros.