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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2023

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1.- Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Las ventas de un determinado producto vienen dadas por el siguiente modelo: V(t)=5t28+t2,t≥0V(t) = \frac{5t^2}{8 + t^2}, \qquad t \geq 0 Donde V(t)V(t) son las ventas en miles; tt mide el tiempo desde que se inicia la venta del producto, en meses.
a)0,75 pts
Calcular las tasas de variación media del primero y segundo semestre. Comparar e interpretar los resultados.
b)0,75 pts
Se afirma que este modelo es creciente en su dominio. Justificar si esta afirmación es correcta.
c)0,5 pts
¿En qué momento las ventas alcanzan 40004000 unidades?
d)0,5 pts
Si el producto se vende a 22€ la unidad y los ingresos de esta empresa se modelizan teniendo en cuenta las ventas mensuales. ¿Hacia dónde tienden los ingresos con el paso del tiempo? Justificar la respuesta.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque 1.- Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Resolver los siguientes apartados:
a)1 pts
Averiguar el valor de kk para que sea cierta la siguiente igualdad: lim⁡x→−2kx2−4kx2+6x+8=32\lim_{x \rightarrow -2} \frac{kx^2 - 4k}{x^2 + 6x + 8} = \frac{3}{2}
b)1,5 pts
Resolver la siguiente integral indefinida: ∫x2x−1 dx\int x \sqrt{2x - 1} \, dx
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque 2.- Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones: {−x+ky+2z=k2x+ky−z=2kx−y+2z=k\begin{cases} -x + ky + 2z = k \\ 2x + ky - z = 2 \\ kx - y + 2z = k \end{cases}
a)1,5 pts
Discutir la compatibilidad del sistema según los diversos valores de kk.
b)1 pts
Resolver el sistema para k=2k = 2.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 2.- Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Resolver la ecuación matricial: AX+Bt=A2AX + B^t = A^2, siendo: A=(011100001)yB=(1−111−10−123)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 3.- Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

En el espacio tridimensional tenemos el punto y la recta siguientes: P(1,−2,0);r ⁣:{x−2y+z=0x−z=0P(1, -2, 0) ; \quad r \colon \begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}
a)1,75 pts
Hallar la ecuación del plano tal que, la recta perpendicular al mismo y que pasa por el origen de coordenadas corta al plano buscado en el punto PP. Averiguar el ángulo que forma el plano encontrado con la recta rr.
b)0,75 pts
Hallar el punto de intersección de la recta rr y s ⁣:x−5=y+1−2=z−93s \colon x - 5 = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 9}{3}
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque 3.- Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

En el espacio tridimensional tenemos las ecuaciones de las rectas siguientes: r ⁣:{8x+2y−3z+12=0−7x−y+3z=9;s ⁣:x=y+1=z−22r \colon \begin{cases} 8x + 2y - 3z + 12 = 0 \\ -7x - y + 3z = 9 \end{cases}; \quad s \colon x = y + 1 = \frac{z - 2}{2}
a)1,25 pts
Comprobar que rr y ss están contenidas en un mismo plano π\pi y hallar la ecuación de dicho plano.
b)1,25 pts
Averiguar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(0,−1,2)Q(0, -1, 2) y corta perpendicularmente a la recta rr.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque 4.- Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Aythami tiene un sobre donde guarda el dinero que ha podido reunir, el sobre contiene: 4 billetes de 5€, 6 billetes de 10€ y 2 billetes de 50€. Quiere comprar algunas cosas y decide dejar al azar cuánto dinero va a coger del sobre. Para ello, saca aleatoriamente, sin reemplazamiento y de forma consecutiva, dos billetes del sobre.
a)0,5 pts
Expresar el espacio muestral del experimento que va a realizar Aythami.
b)1 pts
Si se quiere comprar un videojuego que cuesta 57€, ¿qué probabilidad hay de que pueda hacerlo con los billetes que saca del sobre?
c)1 pts
Si al final obtiene, con este experimento, 60€ del sobre ¿qué probabilidad hay de que el primer billete fuera de 10€?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 4.- Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

La probabilidad de que un coche de carreras sufra un reventón en un neumático durante una competición es de 0,040{,}04. En una competición en la que participan 1010 coches:
a)0,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan 22 reventones?
b)1 pts
Se afirma que existe como mucho un 1%1\% de posibilidades de que ocurran más de 22 reventones durante la carrera. ¿Es cierta esta afirmación? Justifícalo.
c)1 pts
Estudiamos las competiciones realizadas en una temporada con un total de 250250 coches ¿qué probabilidad hay de que se produzcan más de 1212 reventones en total? (Suponiendo la independencia de los sucesos)
Gráfica de la distribución normal estándar mostrando el área bajo la curva para F(x) = P(Z ≤ x)
Gráfica de la distribución normal estándar mostrando el área bajo la curva para F(x) = P(Z ≤ x)
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