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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2023

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Debe responder sólo una pregunta de cada bloque de contenido. En caso de presentar dos preguntas de un mismo bloque, se considerará sólo la primera pregunta respondida. En el desarrollo de cada pregunta, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarla. Se califica todo el proceso. Se puede utilizar cualquier calculadora científica no programable ni con conexión a Internet.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Las ventas de un determinado producto vienen dadas por el siguiente modelo:V(t)=5t28+t2,t≥0V(t) = \frac{5t^2}{8 + t^2}, \qquad t \geq 0Donde V(t)V(t) son las ventas en miles; tt mide el tiempo desde que se inicia la venta del producto, en meses.
a
Calcular las tasas de variación media del primero y segundo semestre. Comparar e interpretar los resultados.0,75 pts
b
Se afirma que este modelo es creciente en su dominio. Justificar si esta afirmación es correcta.0,75 pts
c
¿En qué momento las ventas alcanzan 40004000 unidades?0,5 pts
d
Si el producto se vende a 22€ la unidad y los ingresos de esta empresa se modelizan teniendo en cuenta las ventas mensuales. ¿Hacia dónde tienden los ingresos con el paso del tiempo? Justificar la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque 1Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Resolver los siguientes apartados:
a
Averiguar el valor de kk para que sea cierta la siguiente igualdad:lim⁡x→−2kx2−4kx2+6x+8=32\lim_{x \rightarrow -2} \frac{kx^2 - 4k}{x^2 + 6x + 8} = \frac{3}{2}1 pt
b
Resolver la siguiente integral indefinida: ∫x2x−1 dx\int x \sqrt{2x - 1} \, dx1,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones: {−x+ky+2z=k2x+ky−z=2kx−y+2z=k\begin{cases} -x + ky + 2z = k \\ 2x + ky - z = 2 \\ kx - y + 2z = k \end{cases}
a
Discutir la compatibilidad del sistema según los diversos valores de kk.1,5 pts
b
Resolver el sistema para k=2k = 2.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Resolver la ecuación matricial: AX+Bt=A2AX + B^t = A^2, siendo:A=(011100001)yB=(1−111−10−123)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

En el espacio tridimensional tenemos el punto y la recta siguientes:P(1,−2,0);r ⁣:{x−2y+z=0x−z=0P(1, -2, 0) ; \quad r \colon \begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}
a
Hallar la ecuación del plano tal que, la recta perpendicular al mismo y que pasa por el origen de coordenadas corta al plano buscado en el punto PP. Averiguar el ángulo que forma el plano encontrado con la recta rr.1,75 pts
b
Hallar el punto de intersección de la recta rr y s ⁣:x−5=y+1−2=z−93s \colon x - 5 = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 9}{3}0,75 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

En el espacio tridimensional tenemos las ecuaciones de las rectas siguientes:r ⁣:{8x+2y−3z+12=0−7x−y+3z=9;s ⁣:x=y+1=z−22r \colon \begin{cases} 8x + 2y - 3z + 12 = 0 \\ -7x - y + 3z = 9 \end{cases}; \quad s \colon x = y + 1 = \frac{z - 2}{2}
a
Comprobar que rr y ss están contenidas en un mismo plano π\pi y hallar la ecuación de dicho plano.1,25 pts
b
Averiguar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(0,−1,2)Q(0, -1, 2) y corta perpendicularmente a la recta rr.1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Aythami tiene un sobre donde guarda el dinero que ha podido reunir, el sobre contiene: 4 billetes de 5€, 6 billetes de 10€ y 2 billetes de 50€. Quiere comprar algunas cosas y decide dejar al azar cuánto dinero va a coger del sobre. Para ello, saca aleatoriamente, sin reemplazamiento y de forma consecutiva, dos billetes del sobre.
a
Expresar el espacio muestral del experimento que va a realizar Aythami.0,5 pts
b
Si se quiere comprar un videojuego que cuesta 57€, ¿qué probabilidad hay de que pueda hacerlo con los billetes que saca del sobre?1 pt
c
Si al final obtiene, con este experimento, 60€ del sobre ¿qué probabilidad hay de que el primer billete fuera de 10€?1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

La probabilidad de que un coche de carreras sufra un reventón en un neumático durante una competición es de 0,040{,}04. En una competición en la que participan 1010 coches:
a
¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan 22 reventones?0,5 pts
b
Se afirma que existe como mucho un 1%1\% de posibilidades de que ocurran más de 22 reventones durante la carrera. ¿Es cierta esta afirmación? Justifícalo.1 pt
c
Estudiamos las competiciones realizadas en una temporada con un total de 250250 coches ¿qué probabilidad hay de que se produzcan más de 1212 reventones en total? (Suponiendo la independencia de los sucesos)1 pt
Gráfica de la distribución normal estándar mostrando el área bajo la curva para F(x) = P(Z ≤ x)
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