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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2016

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Dada la funci´on f(x)=(6−x)ex/3f(x) = (6 - x)e^{x/3}, se pide:
a)1 pts
Determinar su dominio, as´ıntotas y cortes con los ejes.
b)1 pts
Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.
c)1 pts
Determinar el ´area del tri´angulo que forman los ejes coordenados con la tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto x=0x = 0.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
Dado el sistema de ecuaciones siguiente: {2x+(a−1)y−2z=a2x+y−az=2−x+y+z=1−a\begin{cases} 2x + (a - 1)y - 2z = a \\ 2x + y - az = 2 \\ -x + y + z = 1 - a \end{cases}
a)2 pts
Discutirlo seg´un los valores del par´ametro aa.
b)1 pts
Resolverlo cuando sea posible.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3 puntos
Dadas las rectas r≡{x−2z−1=0x+y+z−4=0r \equiv \begin{cases} x - 2z - 1 = 0 \\ x + y + z - 4 = 0 \end{cases} y s≡{(2+λ,1−3λ,λ);λ∈R}s \equiv \{ (2 + \lambda, 1 - 3\lambda, \lambda); \lambda \in \mathbb{R} \}
a)1 pts
Obtener la recta que pasa por el punto P(1,0,5)P(1, 0, 5) y corta perpendicularmente a rr.
b)1 pts
Obtener el plano que contiene a la recta rr y es paralelo a ss.
c)1 pts
Hallar la distancia entre las rectas rr y ss.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
Dada la funci´on f(x)={15−xsi x≤015+xsi x>0f(x) = \begin{cases} \frac{1}{5 - x} & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{1}{5 + x} & \text{si } x > 0 \end{cases}
a)1 pts
Estudiar la continuidad de ff y determinar sus as´ıntotas.
b)1 pts
Estudiar la derivabilidad de ff y calcular f′(x)f'(x) donde sea posible.
c)1 pts
Calcular ∫−11f(x)dx\int_{-1}^{1} f(x) dx.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
a)1 pts
Determine, si es posible, los par´ametros α\alpha y β\beta de modo que se verifique la igualdad: α(3−45−1)+β(1021)2=(3−8−2−5)\alpha \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 3 & -8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}
b)1 pts
Determine los posibles valores de λ\lambda para que el rango de la matriz AA sea 2, donde A=λ(2213)+(1001)A = \lambda \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Sea π\pi el plano que contiene a los puntos A(0,2,1)A(0, 2, 1), B(1,0,1)B(1, 0, 1) y C(−1,−2,−1)C(-1, -2, -1). Calcule el volumen del tetraedro que forma el origen de coordenadas con los puntos de intersecci´on de π\pi con cada uno de los ejes coordenados.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Cierta fundaci´on ha destinado 247 000 euros para la dotaci´on de 115 becas de estudios. El importe de cada beca es de 3000 euros, si el estudiante cursa un grado universitario; de 2000 euros, si cursa formaci´on profesional y de 1500 euros, si realiza estudios de postgrado. Sabiendo que la fundaci´on ha concedido doble n´umero de becas de formaci´on profesional que de postgrado, ¿cu´antas becas ha concedido a cada nivel de estudios?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Dado el plano π≡3x+3y+z−9=0\pi \equiv 3x + 3y + z - 9 = 0, se pide:
a)1 pts
Determinar la ecuaci´on del plano perpendicular a π\pi que contiene al eje OXOX.
b)1 pts
Determinar el punto del plano π\pi m´as cercano al origen de coordenadas.
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