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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Despu´es de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deber´a escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opci´on elegida. Para la realizaci´on de esta prueba se puede utilizar calculadora cient´ıfica, siempre que no disponga de capacidad de representaci´on gr´afica o de c´alculo simb´olico. Todas las respuestas deber´an estar debidamente justificadas. Calificaci´on: Las preguntas 1a1^a y 2a2^a se valorar´an sobre 3 puntos; las preguntas 3a3^a y 4a4^a sobre 2 puntos. Tiempo: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la funci´on f(x)=(6−x)ex/3f(x) = (6 - x)e^{x/3}, se pide:
a
Determinar su dominio, as´ıntotas y cortes con los ejes.1 pt
b
Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.1 pt
c
Determinar el ´area del tri´angulo que forman los ejes coordenados con la tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dadas las rectas r≡{x−2z−1=0x+y+z−4=0r \equiv \begin{cases} x - 2z - 1 = 0 \\ x + y + z - 4 = 0 \end{cases} y s≡{(2+λ,1−3λ,λ);λ∈R}s \equiv \{ (2 + \lambda, 1 - 3\lambda, \lambda); \lambda \in \mathbb{R} \}
a
Obtener la recta que pasa por el punto P(1,0,5)P(1, 0, 5) y corta perpendicularmente a rr.1 pt
b
Obtener el plano que contiene a la recta rr y es paralelo a ss.1 pt
c
Hallar la distancia entre las rectas rr y ss.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Determine, si es posible, los par´ametros α\alpha y β\beta de modo que se verifique la igualdad:α(3−45−1)+β(1021)2=(3−8−2−5)\alpha \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 3 & -8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}1 pt
b
Determine los posibles valores de λ\lambda para que el rango de la matriz AA sea 2, dondeA=λ(2213)+(1001)A = \lambda \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Cierta fundaci´on ha destinado 247 000 euros para la dotaci´on de 115 becas de estudios. El importe de cada beca es de 3000 euros, si el estudiante cursa un grado universitario; de 2000 euros, si cursa formaci´on profesional y de 1500 euros, si realiza estudios de postgrado. Sabiendo que la fundaci´on ha concedido doble n´umero de becas de formaci´on profesional que de postgrado, ¿cu´antas becas ha concedido a cada nivel de estudios?
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dado el sistema de ecuaciones siguiente:{2x+(a−1)y−2z=a2x+y−az=2−x+y+z=1−a\begin{cases} 2x + (a - 1)y - 2z = a \\ 2x + y - az = 2 \\ -x + y + z = 1 - a \end{cases}
a
Discutirlo seg´un los valores del par´ametro aa.2 pts
b
Resolverlo cuando sea posible.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la funci´onf(x)={15−xsi x≤015+xsi x>0f(x) = \begin{cases} \frac{1}{5 - x} & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{1}{5 + x} & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
Estudiar la continuidad de ff y determinar sus as´ıntotas.1 pt
b
Estudiar la derivabilidad de ff y calcular f′(x)f'(x) donde sea posible.1 pt
c
Calcular ∫−11f(x)dx\int_{-1}^{1} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea π\pi el plano que contiene a los puntos A(0,2,1)A(0, 2, 1), B(1,0,1)B(1, 0, 1) y C(−1,−2,−1)C(-1, -2, -1). Calcule el volumen del tetraedro que forma el origen de coordenadas con los puntos de intersecci´on de π\pi con cada uno de los ejes coordenados.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dado el plano π≡3x+3y+z−9=0\pi \equiv 3x + 3y + z - 9 = 0, se pide:
a
Determinar la ecuaci´on del plano perpendicular a π\pi que contiene al eje OXOX.1 pt
b
Determinar el punto del plano π\pi m´as cercano al origen de coordenadas.1 pt
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