Matemáticas II · Cataluña 2015

Determine para qué valores de $a$ existe $A^{-1}$.

Calcule $A^{-1}$ para $a = 0$.

Calcule la ecuación cartesiana (es decir, que tiene la forma $Ax + By + Cz = D$) del plano $\pi_2$.

Encuentre los dos puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$.

Demuestre que la función $f$ tiene una raíz (un cero) en el intervalo $[0, 2]$.

Compruebe que la función es monótona en el intervalo $[0, 2]$ y calcule las coordenadas de los puntos mínimo absoluto y máximo absoluto de la función en este intervalo.

Calcule la posición relativa de los tres planos.

Compruebe que el plano $\pi_3$ es paralelo a la recta definida por la intersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$.

Compruebe que la superficie del rectángulo, en función de $x$, viene dada por la expresión $$S(x) = \sqrt{4x^2 - x^4}$$

Calcule los valores de las medidas $x$ e $y$ para los cuales la superficie del rectángulo es máxima y calcule el valor de esta superficie máxima.