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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2015

6 ejercicios

Instrucciones

Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea la matriz A=(0a110−211−a)A = \begin{pmatrix} 0 & a & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & -a \end{pmatrix}
a
Determine para qué valores de aa existe A−1A^{-1}.1 pt
b
Calcule A−1A^{-1} para a=0a = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
En el espacio tridimensional considere la recta r:(x,y,z)=(3+2α,−α,3−α)r: (x, y, z) = (3 + 2\alpha, -\alpha, 3 - \alpha) y los planos π1:x+y+z=−1\pi_1: x + y + z = -1 y π2:(x,y,z)=(2+λ,1−λ+μ,μ)\pi_2: (x, y, z) = (2 + \lambda, 1 - \lambda + \mu, \mu).
Datos
  • Puede calcular la distancia de un punto de coordenadas (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) al plano de ecuación Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 con la expresión ∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
a
Calcule la ecuación cartesiana (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz=DAx + By + Cz = D) del plano π2\pi_2.1 pt
b
Encuentre los dos puntos de la recta rr que equidistan de los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea la función f(x)=ex−x−2f(x) = e^x - x - 2
a
Demuestre que la función ff tiene una raíz (un cero) en el intervalo [0,2][0, 2].1 pt
b
Compruebe que la función es monótona en el intervalo [0,2][0, 2] y calcule las coordenadas de los puntos mínimo absoluto y máximo absoluto de la función en este intervalo.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean los planos de R3\mathbb{R}^3 π1:y+z=2\pi_1: y + z = 2, π2:−2x+y+z=1\pi_2: -2x + y + z = 1 y π3:2x−2z=−1\pi_3: 2x - 2z = -1.
a
Calcule la posición relativa de los tres planos.1 pt
b
Compruebe que el plano π3\pi_3 es paralelo a la recta definida por la intersección de los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Sean xx e yy las medidas de los lados de un rectángulo inscrito en una circunferencia de diámetro 22.
a
Compruebe que la superficie del rectángulo, en función de xx, viene dada por la expresión S(x)=4x2−x4S(x) = \sqrt{4x^2 - x^4}1 pt
b
Calcule los valores de las medidas xx e yy para los cuales la superficie del rectángulo es máxima y calcule el valor de esta superficie máxima.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Encuentre todas las matrices de la forma A=(a0b1)A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix} que sean inversas de ellas mismas, es decir, que A2=(1001)A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
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