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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2014

4 ejercicios

Instrucciones

1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro mm:{mx+y=1x+my=m2mx+2y=m+1\begin{cases} mx + y = 1 \\ x + my = m \\ 2mx + 2y = m + 1 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea el plano que pasa por los puntos A(1,1,−1)A(1, 1, -1), B(2,3,2)B(2, 3, 2), C(3,1,0)C(3, 1, 0) y rr la recta dada por r≡x−72=y+6−1=z+32r \equiv \frac{x - 7}{2} = \frac{y + 6}{-1} = \frac{z + 3}{2}
a
Calcular el ángulo que forman la recta rr y el plano.1 pt
b
Calcular los puntos de rr que distan 6 unidades del plano.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Hallar la función polinómica de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto P(0,1)P(0, 1), que tiene por tangente en el punto de abscisa x=0x = 0 la recta de ecuación y=2x+1y = 2x + 1, y que su integral entre 0 y 1 vale 3.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la función f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la matriz A=(aa+1a+2aa+3a+4aa+5a+6)A = \begin{pmatrix} a & a + 1 & a + 2 \\ a & a + 3 & a + 4 \\ a & a + 5 & a + 6 \end{pmatrix}
a
Discutir su rango en función de los valores de aa.1,5 pts
b
Para a=1a = 1, resolver la ecuación matricial AtX=(000)A^t X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcular la recta contenida en el plano π1≡x+y+z=3\pi_1 \equiv x + y + z = 3, paralela al plano π2≡x=0\pi_2 \equiv x = 0, y que pasa por el punto simétrico de B(1,1,1)B(1, 1, 1) respecto de π2\pi_2.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la función f(x)=x+2xf(x) = x + 2\sqrt{x}.
a
Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.0,5 pts
b
Calcular el punto de la gráfica de f(x)f(x) más cercano al punto (0,4)(0, 4).2 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la función f(x)=ex(1+ex)2f(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2}
a
Calcular un punto de su gráfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje OXOX. Escribe la ecuación de la recta tangente.1 pt
b
Calcular el área limitada por la gráfica de la función, el eje OXOX y las rectas x=0x = 0 y x=ln⁡5x = \ln 5.1,5 pts
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