Matemáticas II · Castilla y León 2014

Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $m$: $$\begin{cases} mx + y = 1 \\ x + my = m \\ 2mx + 2y = m + 1 \end{cases}$$

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & a + 1 & a + 2 \\ a & a + 3 & a + 4 \\ a & a + 5 & a + 6 \end{pmatrix}$

Sea el plano que pasa por los puntos $A(1, 1, -1)$, $B(2, 3, 2)$, $C(3, 1, 0)$ y $r$ la recta dada por $r \equiv \frac{x - 7}{2} = \frac{y + 6}{-1} = \frac{z + 3}{2}$

Calcular la recta contenida en el plano $\pi_1 \equiv x + y + z = 3$, paralela al plano $\pi_2 \equiv x = 0$, y que pasa por el punto simétrico de $B(1, 1, 1)$ respecto de $\pi_2$.

Hallar la función polinómica de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(0, 1)$, que tiene por tangente en el punto de abscisa $x = 0$ la recta de ecuación $y = 2x + 1$, y que su integral entre 0 y 1 vale 3.

Sea la función $f(x) = x + 2\sqrt{x}$.

Sea la función $f(x) = e^{-x^2}$. Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.

Sea la función $f(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2}$