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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Podéis utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Considerad el sistema de ecuaciones dado por:{kx+y−z=1x−ky+z=4x+y+kz=0\begin{cases} kx + y - z = 1 \\ x - ky + z = 4 \\ x + y + kz = 0 \end{cases}
a
Discutid el sistema en función del parámetro kk.6 pts
b
Resolvedlo cuando k=1k = 1.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
a
Representad gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las inecuaciones lineales siguientes:x+4y≥18,(1)3x−2y≤12,(2)−x−y≤−6,(3)x≥0,y≥0.(4)\begin{array}{l} x + 4y \geq 18, (1) \\ 3x - 2y \leq 12, (2) \\ -x - y \leq -6, (3) \\ x \geq 0, y \geq 0. (4) \end{array}Señalad sobre la gráfica los vértices con sus coordenadas, así como la ecuación que corresponde a cada una de las rectas que la delimitan. Indicad si es o no una región acotada del plano.5 pts
b
Indicad la posición de los puntos P=(2,2)P = (2, 2) y Q=(5,10)Q = (5, 10) en relación con la región determinada en el apartado a). En caso de que el punto sea exterior indicad, comprobándolo algebraicamente, cuál o cuáles de las inecuaciones no cumple.3 pts
c
Para la región representada en el apartado a) determinad en qué puntos toma el valor mínimo la función h(x,y)=2x+8yh(x, y) = 2x + 8y.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Hay un fondo de inversión cuya rentabilidad, en función de la cantidad invertida en euros, viene dada por la función R(x)={−0,0001x2+0,5xsi 0<x≤4000400si x≥4000R(x) = \begin{cases} -0{,}0001x^2 + 0{,}5x & \text{si } 0 < x \leq 4000 \\ 400 & \text{si } x \geq 4000 \end{cases}. Se pide:
a
¿Qué rentabilidad se obtiene al invertir 30003000 euros?2 pts
b
¿Qué cantidad xx conviene invertir para obtener la máxima rentabilidad?6 pts
c
¿Cuál es esta máxima rentabilidad?2 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Una pareja para celebrar su 25 aniversario planea pasar un fin de semana gastronómico eligiendo al azar una de las tres ciudades del País Vasco: B, SS, V. No obstante, se pronostica tiempo lluvioso durante estos días. En concreto, las probabilidades de lluvia durante el fin de semana considerado son de 3/53/5, 2/72/7 y 1/41/4 en B, SS y V, respectivamente.
a
Proporcionad el diagrama en árbol asociado al problema.2 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que no llueva durante el fin de semana?3 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que la ciudad elegida sea SS y no llueva durante la visita?2 pts
d
La pareja ha tenido un fin de semana lluvioso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya estado en la ciudad B?3 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
La suma de las edades de tres hermanos de edades diferentes es de 3737 años. La suma de la edad del mayor más el doble de la edad del mediano más el triple de la edad del pequeño es de 6969 años. La edad del hermano mediano excede en 22 la edad del pequeño. Calcula las edades de los tres hermanos. Plantea un sistema de ecuaciones que permita calcular las edades y resuélvelo.
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Una fábrica de muebles produce dos tipos de butacas S1S_1 y S2S_2. La fábrica tiene dos secciones: ebanistería y tapicería. Hacer una butaca del tipo S1S_1 requiere 11 hora de trabajo en la sección de ebanistería y 22 horas en la de tapicería. Una butaca del tipo S2S_2 necesita 33 horas de ebanistería y 11 de tapicería. El personal de ebanistería suministra un máximo de 9090 horas de trabajo, en tapicería se dispone de un máximo de 8080 horas. Los beneficios por la venta de cada butaca de S1S_1 y de cada butaca de S2S_2 son de 3636 euros y 1818 euros, respectivamente. ¿Cuántas butacas de cada tipo hay que producir para maximizar los beneficios?
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Según un estudio sobre evolución de la población de una determinada especie protegida, se puede establecer que el número de individuos de esta especie, durante los próximos años, viene determinada por la función f(t)=50t+500t+1f(t) = \frac{50t + 500}{t + 1} donde tt es el número de años transcurridos.
a
Calculad la población actual y la prevista para dentro de nueve años.2 pts
b
Determinad los periodos de tiempo en que la población aumentará y los periodos en que disminuirá.6 pts
c
Estudiad si, según la función dada, la población tenderá a estabilizarse en algún valor y, en caso afirmativo, determinad este valor.2 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Una familia que hace un viaje en coche desde Cartagena por la Comunidad Valenciana tiene un 50%50\% de posibilidades de visitar la ciudad de Valencia, un 40%40\% de visitar Peñíscola y un 30%30\% de visitar ambas ciudades. Se pide:
a
La probabilidad de que visite al menos una de las dos ciudades.2 pts
b
La probabilidad de que visite Valencia pero no visite Peñíscola.3 pts
c
La probabilidad de que visite únicamente una de las dos ciudades.3 pts
d
La probabilidad de que visite Peñíscola, sabiendo que ha visitado Valencia.2 pts
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