Matemáticas II · Andalucía 2015

Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta $80$ euros/metro y la de los otros lados $10$ euros/metro, halla las dimensiones del campo de área máxima que puede vallarse con $28\,800$ euros.

Determina $a$ y $b$ sabiendo que $b > 0$ y que la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $$f(x) = \begin{cases} a \cos(x) + 2x & \text{si } x < 0 \\ a^2 \ln(x + 1) + \frac{b}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ es derivable. ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Calcula $$\int \frac{dx}{(x - 2) \sqrt{x + 2}} \quad (\text{Sugerencia: } \sqrt{x + 2} = t).$$

Sea $g$ la función definida por $g(x) = \ln(x)$ para $x > 0$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano). Calcula el valor de $a > 1$ para el que el área del recinto limitado por la gráfica de $g$, el eje de abscisas y la recta $x = a$ es $1$.

Halla la matriz $X$ que verifica la igualdad $AXA^{-1} + B = CA^{-1}$ sabiendo que $$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -5 & -3 \end{pmatrix}.$$

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} \lambda x + \lambda y + \lambda z = 0 \\ \lambda x + 2y + 2z = 0 \\ \lambda x + 2y + z = 0 \end{cases}$$

Considera el punto $P(-3, 1, 6)$ y la recta $r$ dada por $\begin{cases} 2x - y - 5 = 0 \\ y - z + 2 = 0 \end{cases}$

Los puntos $A(0, 1, 1)$ y $B(2, 1, 3)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la recta $r$ dada por $$\begin{cases} 2x + y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$$