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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2015Variante 5

Matemáticas II · Andalucía 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 8080 euros/metro y la de los otros lados 1010 euros/metro, halla las dimensiones del campo de área máxima que puede vallarse con 28 80028\,800 euros.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula∫dx(x−2)x+2(Sugerencia: x+2=t).\int \frac{dx}{(x - 2) \sqrt{x + 2}} \quad (\text{Sugerencia: } \sqrt{x + 2} = t).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Halla la matriz XX que verifica la igualdad AXA−1+B=CA−1AXA^{-1} + B = CA^{-1} sabiendo queA=(0−10−1−30141),C=(1−1200−110−1)yBA=(11011−1−1−5−3).A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -5 & -3 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto P(−3,1,6)P(-3, 1, 6) y la recta rr dada por {2x−y−5=0y−z+2=0\begin{cases} 2x - y - 5 = 0 \\ y - z + 2 = 0 \end{cases}
a
Determina la ecuación del plano que pasa por PP y es perpendicular a rr.1,25 pts
b
Calcula las coordenadas del punto simétrico de PP respecto de la recta rr.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Determina aa y bb sabiendo que b>0b > 0 y que la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida comof(x)={acos⁡(x)+2xsi x<0a2ln⁡(x+1)+bx+1si x≥0f(x) = \begin{cases} a \cos(x) + 2x & \text{si } x < 0 \\ a^2 \ln(x + 1) + \frac{b}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}es derivable. (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea gg la función definida por g(x)=ln⁡(x)g(x) = \ln(x) para x>0x > 0 (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano). Calcula el valor de a>1a > 1 para el que el área del recinto limitado por la gráfica de gg, el eje de abscisas y la recta x=ax = a es 11.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones{λx+λy+λz=0λx+2y+2z=0λx+2y+z=0\begin{cases} \lambda x + \lambda y + \lambda z = 0 \\ \lambda x + 2y + 2z = 0 \\ \lambda x + 2y + z = 0 \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores de λ\lambda.1,75 pts
b
Determina, si existen, los valores de λ\lambda para los que el sistema tiene alguna solución en la que z≠0z \neq 0.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Los puntos A(0,1,1)A(0, 1, 1) y B(2,1,3)B(2, 1, 3) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la recta rr dada por{2x+y=0z=0\begin{cases} 2x + y = 0 \\ z = 0 \end{cases}
a
Calcula las coordenadas de los posibles puntos CC de rr para que el triángulo ABCABC tenga un ángulo recto en el vértice AA.1 pt
b
Calcula las coordenadas de los posibles puntos DD de rr para que el triángulo ABDABD tenga un área igual a 2\sqrt{2}.1,5 pts
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