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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2020

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1
Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería en la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.
a)1,25 pts
¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora?
b)1,25 pts
Además, si los precios del libro, la calculadora y el estuche hubieran sido, respectivamente, un 50%50\%, un 80%80\% y un 75%75\% de los precios iniciales de cada artículo, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio inicial de cada artículo.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 1
Dadas las matrices A=(m131m21m3)A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix} y B=(2210−12)B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
a)1 pts
Discute el rango de AA según los valores de m∈Rm \in \mathbb{R}.
b)0,5 pts
¿Qué dimensiones ha de tener la matriz XX para que sea posible la ecuación A⋅X=BA \cdot X = B?
c)1 pts
Calcula la matriz XX del apartado anterior para m=0m = 0.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 2
Sea la función f:R⟶R,f(x)=x3−6x2+9xf: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.
a)1 pts
Halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión.
b)1 pts
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboza una gráfica de la función.
c)0,5 pts
Calcula la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=2x = 2.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 2
Sea la función f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2
a)1 pts
Su gráfica determina con el eje de abscisas un recinto limitado DD. Calcula su área.
b)0,75 pts
La gráfica de la función g(x)=3x2g(x) = 3x^2 divide DD en tres partes D1,D2D_1, D_2 y D3D_3. Haz un dibujo de los tres recintos.
c)0,75 pts
Calcula el área del recinto D2D_2 que contiene al punto P(0,1)P(0, 1).
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Bloque 3
Dados el punto A(2,1,1)A(2, 1, 1) y la recta r:{x+y=2y+z=0r: \begin{cases} x + y = 2 \\ y + z = 0 \end{cases}
a)0,75 pts
Calcula un vector director de la recta rr.
b)0,75 pts
La ecuación del plano π\pi que contiene al punto AA y a la recta rr.
c)1 pts
La ecuación de la recta ss contenida en π\pi que pasa por AA y es perpendicular a rr.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque 3
Sea el prisma triangular (triángulos iguales y paralelos) de la figura, con A(1,0,0)A(1, 0, 0), B′(−1,2,2)B'(-1, 2, 2), C(0,3,0)C(0, 3, 0) y C′(0,4,2)C'(0, 4, 2). Y los planos π\pi, al que pertenecen los puntos A,B,CA, B, C y π′\pi', al que pertenecen los puntos A′,B′,C′A', B', C'. Calcula:
Diagrama de un prisma triangular con vértices etiquetados A, B, C en la base inferior (plano pi) y A', B', C' en la base superior (plano pi').
Diagrama de un prisma triangular con vértices etiquetados A, B, C en la base inferior (plano pi) y A', B', C' en la base superior (plano pi').
a)0,75 pts
Las coordenadas de los puntos restantes: A′A', BB.
b)0,75 pts
La distancia entre los planos π\pi y π′\pi'.
c)1 pts
El volumen del prisma triangular.
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Bloque 4
En un espacio muestral se tienen dos sucesos: AA y BB. Se conocen las siguientes probabilidades: P(A∩B)=0,3P(A \cap B) = 0{,}3, P(A/B)=P(B/A)P(A/B) = P(B/A) y P(A‾)=0,2P(\overline{A}) = 0{,}2 (A‾\overline{A} suceso contrario). Calcula:
a)1 pts
P(B/A)P(B/A).
b)1 pts
P(B)P(B).
c)0,5 pts
¿Son los sucesos independientes?
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque 4
Los 5 defensas, 3 medios y 2 delanteros de un equipo de fútbol se entrenan lanzando penaltis a su portero. Los defensas marcan gol la mitad de las veces, los medios las 2/32/3 partes de las veces y los delanteros las 3/43/4 partes de las veces.
a)1,25 pts
Se elige un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que meta el penalti?
b)1,25 pts
Se supone que la probabilidad del apartado anterior es del 60%60\%. El equipo realiza en una semana 600 lanzamientos. En cada lanzamiento se elige un jugador al azar y regresa al grupo pudiendo ser elegido nuevamente. Calcula la probabilidad de que como mucho se metan 400 goles aproximando la distribución por una normal.
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