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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Despues de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. TIEMPO Y CALIFICACION: 90 minutos. Cada ejercicio se calificará sobre 2,5 puntos. El estudiante deberá indicar la agrupación de preguntas que responderá. La selección de preguntas deberá realizarse conforme a las instrucciones planteadas, no siendo válido seleccionar preguntas que sumen más de 10 puntos, ni agrupaciones de preguntas que no coincidan con las indicadas, lo que puede conllevar la anulación de alguna pregunta que se salga de las instrucciones.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1
Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería en la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.
a
¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora?1,25 pts
b
Además, si los precios del libro, la calculadora y el estuche hubieran sido, respectivamente, un 50%50\%, un 80%80\% y un 75%75\% de los precios iniciales de cada artículo, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio inicial de cada artículo.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 1
Dadas las matrices A=(m131m21m3)A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix} y B=(2210−12)B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
a
Discute el rango de AA según los valores de m∈Rm \in \mathbb{R}.1 pt
b
¿Qué dimensiones ha de tener la matriz XX para que sea posible la ecuación A⋅X=BA \cdot X = B?0,5 pts
c
Calcula la matriz XX del apartado anterior para m=0m = 0.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 2
Sea la función f:R⟶R,f(x)=x3−6x2+9xf: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad\allowbreak f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.
a
Halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión.1 pt
b
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboza una gráfica de la función.1 pt
c
Calcula la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=2x = 2.0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 2
Sea la función f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2
a
Su gráfica determina con el eje de abscisas un recinto limitado DD. Calcula su área.1 pt
b
La gráfica de la función g(x)=3x2g(x) = 3x^2 divide DD en tres partes D1,D2D_1, D_2 y D3D_3. Haz un dibujo de los tres recintos.0,75 pts
c
Calcula el área del recinto D2D_2 que contiene al punto P(0,1)P(0, 1).0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Bloque 3
Dados el punto A(2,1,1)A(2, 1, 1) y la recta r:{x+y=2y+z=0r: \begin{cases} x + y = 2 \\ y + z = 0 \end{cases}
a
Calcula un vector director de la recta rr.0,75 pts
b
La ecuación del plano π\pi que contiene al punto AA y a la recta rr.0,75 pts
c
La ecuación de la recta ss contenida en π\pi que pasa por AA y es perpendicular a rr.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque 3
Sea el prisma triangular (triángulos iguales y paralelos) de la figura, con A(1,0,0)A(1, 0, 0), B′(−1,2,2)B'(-1, 2, 2), C(0,3,0)C(0, 3, 0) y C′(0,4,2)C'(0, 4, 2). Y los planos π\pi, al que pertenecen los puntos A,B,CA, B, C y π′\pi', al que pertenecen los puntos A′,B′,C′A', B', C'. Calcula:
Diagrama de un prisma triangular con vértices etiquetados A, B, C en la base inferior (plano pi) y A', B', C' en la base superior (plano pi').
a
Las coordenadas de los puntos restantes: A′A', BB.0,75 pts
b
La distancia entre los planos π\pi y π′\pi'.0,75 pts
c
El volumen del prisma triangular.1 pt
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Bloque 4
En un espacio muestral se tienen dos sucesos: AA y BB. Se conocen las siguientes probabilidades: P(A∩B)=0,3P(A \cap B) = 0{,}3, P(A/B)=P(B/A)P(A/B) = P(B/A) y P(A‾)=0,2P(\overline{A}) = 0{,}2 (A‾\overline{A} suceso contrario). Calcula:
a
P(B/A)P(B/A).1 pt
b
P(B)P(B).1 pt
c
¿Son los sucesos independientes?0,5 pts
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque 4
Los 5 defensas, 3 medios y 2 delanteros de un equipo de fútbol se entrenan lanzando penaltis a su portero. Los defensas marcan gol la mitad de las veces, los medios las 2/32/3 partes de las veces y los delanteros las 3/43/4 partes de las veces.
Datos
  • F(3,25)=0,9994F(3{,}25) = 0{,}9994
  • F(3,2917)=0,9995F(3{,}2917) = 0{,}9995
  • F(3,3333)=0,9996F(3{,}3333) = 0{,}9996
  • F(3,375)=0,9996F(3{,}375) = 0{,}9996
  • F(3,4167)=0,9997F(3{,}4167) = 0{,}9997
a
Se elige un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que meta el penalti?1,25 pts
b
Se supone que la probabilidad del apartado anterior es del 60%60\%. El equipo realiza en una semana 600 lanzamientos. En cada lanzamiento se elige un jugador al azar y regresa al grupo pudiendo ser elegido nuevamente. Calcula la probabilidad de que como mucho se metan 400 goles aproximando la distribución por una normal.1,25 pts
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