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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCantabriaPAU 2024Ordinaria

Matemáticas CCSS · Cantabria 2024

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla normal estándar como anexo. El estudiante responderá, como máximo, a tres de las seis preguntas propuestas. Si se realizan más de tres ejercicios sólo se corregirán los tres primeros que aparezcan en el tríptico y, para evitar confusiones, se recomienda numerarlo.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Una empresa de jardinería necesita adquirir 300 kg300\,\text{kg} de tierra, 200 kg200\,\text{kg} de piedras decorativas y 100 kg100\,\text{kg} de semillas para completar un proyecto de diseño de jardines. Al comparar precios entre dos proveedores, A y B, obtiene las siguientes ofertas: El proveedor A le ofrece un precio total de 1300013000 €. El proveedor B, que está ofreciendo descuentos por renovación de inventario, reduce el precio de la tierra a un tercio del ofrecido por el proveedor A, el de las piedras decorativas a la mitad, y el de las semillas a un quinto, resultando en un ahorro de 88008800 € respecto al precio total ofrecido por el proveedor A. Además, se sabe que para el proveedor A, el precio por kg de semillas es dos veces la suma de los precios por kg de tierra y piedras decorativas.
a
Plantee el sistema de ecuaciones que permita calcular el precio por kilogramo de la tierra, las piedras decorativas y las semillas en el proveedor A.0,9 pts
b
Analice la compatibilidad de dicho sistema.0,8 pts
c
Resuélvalo.0,8 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
La editorial "EcoReads", comprometida con la sostenibilidad ambiental, planea lanzar dos colecciones de libros: una de guías prácticas sobre sostenibilidad y una colección de libros de cocina vegetariana. Cada guía práctica genera un beneficio de 55 € y cada libro de cocina vegetariana aporta un beneficio de 44 €. Para la producción de estos libros, la editorial emplea dos tipos de papel ecológico: papel reciclado de alta calidad y papel de fibras de bambú. La impresión de una guía requiere 60 g60\,\text{g} de papel reciclado y 20 g20\,\text{g} de papel de bambú, mientras que cada libro de cocina vegetariana necesita 70 g70\,\text{g} de papel reciclado y 10 g10\,\text{g} de papel de bambú. La editorial tiene a su disposición 4000 g4000\,\text{g} de papel reciclado y 800 g800\,\text{g} de papel de bambú para su próxima producción. Además, para garantizar una diversificación del catálogo, la editorial decide que se deben publicar al menos 1010 libros de cocina vegetariana.
a
Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.0,75 pts
b
Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.1 pt
c
¿Cuántos ejemplares de cada colección debería publicar la editorial para maximizar sus beneficios?0,5 pts
d
¿A cuánto asciende dicho beneficio?0,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)={ax+2,si x≤−1x2−3x+5,si −1<x≤3x−bx2+1,si x>3f(x) = \begin{cases} ax + 2, & \text{si } x \le -1 \\ x^2 - 3x + 5, & \text{si } -1 < x \le 3 \\ \frac{x - b}{x^2 + 1}, & \text{si } x > 3 \end{cases}
a
Determine los valores de los parámetros aa y bb para los cuales la función es continua en todo su dominio.1,5 pts
b
Calcule la integral definida I=∫02f(x)dxI = \int_0^2 f(x) dx1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dada la función f(x)=2x2+4x+2x−2f(x) = \frac{2x^2 + 4x + 2}{x - 2}
a
Obtenga los puntos de corte con los ejes OX y OY.0,25 pts
b
Identifique las asíntotas de la función.1 pt
c
Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Un profesor ha determinado que el tiempo que sus estudiantes tardan en completar un examen sigue una distribución normal con una desviación típica de 1010 minutos. A partir de una muestra de 100100 estudiantes seleccionados al azar, se calcula que el tiempo medio necesario para completar un examen es de 9090 minutos.
a
Calcule el intervalo de confianza del 93 %93\,\% para el tiempo medio que los estudiantes tardan en completar un examen.1,25 pts
b
¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que habría que considerar para que el error al estimar el tiempo medio empleado en completar un examen, con un nivel de confianza del 97 %97\,\%, sea de 22 minutos?1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
En un instituto, se sabe que el 45 %45\,\% de los estudiantes practican algún deporte, el 30 %30\,\% participan en actividades artísticas y el 25 %25\,\% están involucrados en actividades de voluntariado. Además, se sabe que el 60 %60\,\% de los estudiantes que practican deportes, el 40 %40\,\% de los que participan en actividades artísticas y el 20 %20\,\% de los que están involucrados en actividades de voluntariado también son miembros del consejo estudiantil. Si se escoge al azar un estudiante:
a
¿Cuál es la probabilidad de que practique deporte y sea miembro del consejo estudiantil?0,5 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante participe en actividades artísticas y no sea miembro del consejo estudiantil?0,5 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea miembro del consejo estudiantil?0,75 pts
d
Si un estudiante no es miembro del consejo estudiantil, ¿cuál es la probabilidad de que participe en actividades de voluntariado?0,75 pts
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