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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2019

5 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cinco ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas).
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el sistema de ecuaciones: (11m210222)(xyz)=(436)\begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}
a
Estudie la existencia y unicidad de soluciones según los valores del parámetro mm.1 pt
b
Resuelva el sistema de ecuaciones anterior para el caso m=2m = 2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Calcular la ecuación del plano π\pi que contiene a la recta r≡x−12=y−13=z−12r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{2} y pasa por el punto A=(1,2,1)A = (1, 2, 1).1 pt
b
Calcule la ecuación de la recta ss que pasa por el punto B=(2,1,2)B = (2, 1, 2) y es perpendicular a las rectas s1≡x−12=y−12=z−12s_1 \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{2} y s2≡x−2−1=y−13=z2s_2 \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z}{2}.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=2x3+3x2−12xf(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x, para x∈Rx \in \mathbb{R}
a
Calcule sus máximos y mínimos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.1 pt
b
Calcule el máximo y mínimo absolutos en el intervalo [−2,2][-2, 2].1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Calcular lim⁡x→0cos⁡(x)−1xsen⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x \sen(x)}.1 pt
b
Calcular el área encerrada por las gráficas de f(x)=4xf(x) = 4x y de g(x)=x3g(x) = x^3 en el intervalo [0,2][0, 2], probando anteriormente que en dicho intervalo f≥gf \geq g.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Las notas de Matemáticas II de 500 alumnos presentados al examen de EBAU tienen una distribución normal con media 6,56{,}5 y desviación típica 22.
a
Calcule la probabilidad de que un alumno haya obtenido más de 88 puntos.1 pt
b
¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores de 55 puntos?1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
a
Encontrar los valores de kk para que la matriz A=(k−12−20k−21101)A = \begin{pmatrix} k - 1 & 2 & -2 \\ 0 & k - 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} sea invertible.1 pt
b
Encontrar la inversa de AA para k=2k = 2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sean la recta r≡x−1m=y−12=z−14r \equiv \frac{x - 1}{m} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{4} y el plano π≡x+y+kz=0\pi \equiv x + y + kz = 0. Encontrar mm y kk para que:
a
La recta rr sea perpendicular al plano π\pi.1 pt
b
La recta rr esté contenida en el plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea el polinomio f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d del cual sabemos que f(0)=1f(0) = 1, f(1)=0f(1) = 0 y que tiene extremos relativos en x=0x = 0 y x=1x = 1. Calcular a,b,ca, b, c y dd.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Sea f(x)=2x+3x2+3x+1f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1}. Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f(x)f(x), el eje OXOX y las rectas x=0x = 0 y x=2x = 2.1 pt
b
Calcular lim⁡x→0xsen⁡(x)3cos⁡(x)−3\lim_{x \to 0} \frac{x \sen(x)}{3 \cos(x) - 3}.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
En una competición de tiro olímpico hay 10 rifles, 4 con visor telescópico y 6 sin él. La probabilidad de que un tirador haga blanco con un rifle con visor telescópico es 0,950{,}95 y sin él es de 0,650{,}65.
a
Halla la probabilidad de hacer blanco escogiendo un rifle al azar.1 pt
b
Si el tirador hace blanco. ¿Es más probable que haya disparado con un rifle con visor telescópico o sin él?1 pt
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