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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2019

10 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Dado el sistema de ecuaciones: (11m210222)(xyz)=(436)\begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}
a)1 pts
Estudie la existencia y unicidad de soluciones según los valores del parámetro mm.
b)1 pts
Resuelva el sistema de ecuaciones anterior para el caso m=2m = 2.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
a)1 pts
Encontrar los valores de kk para que la matriz A=(k−12−20k−21101)A = \begin{pmatrix} k - 1 & 2 & -2 \\ 0 & k - 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} sea invertible.
b)1 pts
Encontrar la inversa de AA para k=2k = 2.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
a)1 pts
Calcular la ecuación del plano π\pi que contiene a la recta r≡x−12=y−13=z−12r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{2} y pasa por el punto A=(1,2,1)A = (1, 2, 1).
b)1 pts
Calcule la ecuación de la recta ss que pasa por el punto B=(2,1,2)B = (2, 1, 2) y es perpendicular a las rectas s1≡x−12=y−12=z−12s_1 \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{2} y s2≡x−2−1=y−13=z2s_2 \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z}{2}.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Sean la recta r≡x−1m=y−12=z−14r \equiv \frac{x - 1}{m} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{4} y el plano π≡x+y+kz=0\pi \equiv x + y + kz = 0. Encontrar mm y kk para que:
a)1 pts
La recta rr sea perpendicular al plano π\pi.
b)1 pts
La recta rr esté contenida en el plano π\pi.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Dada la función f(x)=2x3+3x2−12xf(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x, para x∈Rx \in \mathbb{R}
a)1 pts
Calcule sus máximos y mínimos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b)1 pts
Calcule el máximo y mínimo absolutos en el intervalo [−2,2][-2, 2].
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Sea el polinomio f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d del cual sabemos que f(0)=1f(0) = 1, f(1)=0f(1) = 0 y que tiene extremos relativos en x=0x = 0 y x=1x = 1. Calcular a,b,ca, b, c y dd.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
a)1 pts
Calcular lim⁡x→0cos⁡(x)−1xsen⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x \sen(x)}.
b)1 pts
Calcular el área encerrada por las gráficas de f(x)=4xf(x) = 4x y de g(x)=x3g(x) = x^3 en el intervalo [0,2][0, 2], probando anteriormente que en dicho intervalo f≥gf \geq g.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
a)1 pts
Sea f(x)=2x+3x2+3x+1f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1}. Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f(x)f(x), el eje OXOX y las rectas x=0x = 0 y x=2x = 2.
b)1 pts
Calcular lim⁡x→0xsen⁡(x)3cos⁡(x)−3\lim_{x \to 0} \frac{x \sen(x)}{3 \cos(x) - 3}.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Las notas de Matemáticas II de 500 alumnos presentados al examen de EBAU tienen una distribución normal con media 6,56{,}5 y desviación típica 22.
a)1 pts
Calcule la probabilidad de que un alumno haya obtenido más de 88 puntos.
b)1 pts
¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores de 55 puntos?
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
En una competición de tiro olímpico hay 10 rifles, 4 con visor telescópico y 6 sin él. La probabilidad de que un tirador haga blanco con un rifle con visor telescópico es 0,950{,}95 y sin él es de 0,650{,}65.
a)1 pts
Halla la probabilidad de hacer blanco escogiendo un rifle al azar.
b)1 pts
Si el tirador hace blanco. ¿Es más probable que haya disparado con un rifle con visor telescópico o sin él?
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