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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2023

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. 1. Debe escoger solo cuatro ejercicios entre los ocho de los que consta el examen. 2. Si realiza más de cuatro ejercicios solo se corregirán los cuatro primeros, según el orden que aparecen resueltos en el cuadernillo de examen. 3. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 4. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 5. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el sistema de ecuaciones{2x+3y+z=−1x−y+z=a−x+y−2z=−3\begin{cases} 2x + 3y + z = -1 \\ x - y + z = a \\ -x + y - 2z = -3 \end{cases}dado en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}
1
Determine para qué valores de a el sistema es compatible.1,25 pts
2
Dado a=4a = 4, resuelva el sistema anterior si es posible.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la función f(x)=x2−x+2xf(x) = \frac{x^2 - x + 2}{x}.
1
Determine el conjunto de puntos de discontinuidad de f(x)f(x).0,5 pts
2
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).1 pt
3
Determine si f(x)f(x) tiene asíntota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s).1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcule las ecuaciones de las rectas de los lados de un triangulo que tiene como vertices a los puntos A=(0,0,1)A = (0, 0, 1), B=(4,1,2)B = (4, 1, 2) y C=(3,4,3)C = (3, 4, 3).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
En cierta región, el 72%72\% de las mujeres vive al menos 7171 años y el 52%52\% vive al menos 8080 años. Si una mujer determinada de esa región tiene 7171 años, ¿cuál es la probabilidad de que vaya a vivir al menos hasta los 8080 años?
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considere la matrizA=(1−1a20321−1)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}.
1
Calcule el determinante de AA en función del parámetro aa.0,5 pts
2
Calcule el rango de AA en función del parámetro aa.0,75 pts
3
Determine para qué valores de aa la matriz AA tiene inversa.0,5 pts
4
Sea BB el conjunto de los a∈Ra \in \mathbb{R} tales que AA tiene inversa. Calcule la inversa de AA para los diferentes valores del parámetro a∈Ba \in B.0,75 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere la función f(x)=x3+1f(x) = x^3 + 1.
1
Calcule una primitiva de f(x)f(x).0,5 pts
2
Calcule los puntos de inflexión de f(x)f(x) si los hubiera.1 pt
3
Calcule el área del recinto limitado por f(x)f(x), el eje OXOX de abscisas y las rectas x=1x = 1 y x=2x = 2.1 pt
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considere los planosπ1:2x−3y+5z=a\pi_1: 2x - 3y + 5z = aπ2:bx+3y−5z=4\pi_2: bx + 3y - 5z = 4en función de los parámetros a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determine si es posible asignar algún valor a los parámetros aa y bb para que los planos π1\pi_1 y π2\pi_2:
1
Sean coincidentes. En caso afirmativo de un valor para aa y bb.0,5 pts
2
Sean paralelos. En caso afirmativo de un valor para aa y bb.1 pt
3
Se corten en una recta. En caso afirmativo de un valor para aa y bb.1 pt
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Sean AA y BB dos sucesos independientes asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0,5P(A) = 0{,}5 y P(B)=0,25P(B) = 0{,}25.
1
Calcule P(A∪B)P(A \cup B).0,5 pts
2
Calcule P(Ac)P(A^c) y P(Bc)P(B^c), donde AcA^c y BcB^c denotan el suceso contrario de AA y de BB respectivamente.0,5 pts
3
Razone si AcA^c y BcB^c son independientes.1 pt
4
Calcule P(Ac∪Bc)P(A^c \cup B^c).0,5 pts
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