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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAndalucíaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Andalucía 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla normal estándar como anexo. a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 4 Bloques (A, B, C y D) c) Elija cuatro de los ocho ejercicios propuestos de al menos tres bloques distintos. Se corregirán los cuatro primeros ejercicios que aparezcan en el examen y que cumplan el requisito anterior. d) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima asignada. e) Todos los resultados deben estar suficientemente justificados. f) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin el uso de la misma.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque A
Se consideran las matrices A=(112−2010−1−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}, B=(−213102)B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, C=(12−1−1−23)C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}
a
Determine la matriz XX que verifica A⋅X+B=A2⋅CA \cdot X + B = A^2 \cdot C.1,5 pts
b
Determine las dimensiones de dos matrices PP y QQ sabiendo que A⋅Pt+C=C⋅(Q⋅B)A \cdot P^t + C = C \cdot (Q \cdot B)1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque A
Se considera el recinto definido por las siguientes inecuaciones:y−2x≤7;−x+3y≤21;x+2y≤19;x+y≤14y - 2x \leq 7; \quad -x + 3y \leq 21; \quad x + 2y \leq 19; \quad x + y \leq 14
a
Represente dicho recinto y determine sus vértices.1,4 pts
b
Calcule los valores máximo y mínimo de la función F(x,y)=x+4yF(x, y) = x + 4y en el recinto anterior, así como los puntos donde se alcanzan.0,6 pts
c
¿Podría tomar la función objetivo FF el valor 40 en algún punto de la región factible? ¿Y el valor 20? Justifique las respuestas.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque B
a
Se considera la función f(x)=x3+bx2+cx−1f(x) = x^3 + bx^2 + cx - 1 donde bb y cc son números reales. Determine el valor de bb y cc para que la función ff presente un extremo en el punto de abscisa x=13x = \frac{1}{3} y además la gráfica de la función ff pase por el punto (−2,−3)(-2, -3).1 pt
b
Dada la función g(x)=−x3−x2+x+1g(x) = -x^3 - x^2 + x + 1, realice el esbozo de su gráfica, estudiando los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función gg y el eje de abscisas.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque B
El beneficio, en miles de euros, que se obtiene en una pequeña finca familiar por la venta de aceitunas, en miles de kilogramos, viene dado por la siguiente función:B(x)=−0,02x2+1,3x−15,x≥0B(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}3x - 15, \quad x \geq 0
a
Represente la función beneficio y calcule los puntos de corte con el eje OXOX.0,75 pts
b
¿Para qué valores de xx la finca no tiene pérdidas?0,5 pts
c
¿Para qué número de kilogramos el beneficio será máximo? ¿Cuánto vale dicho beneficio?0,5 pts
d
¿Cuántos kilogramos debe vender para obtener un beneficio de 50005000€?0,75 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque C
En una determinada región hay tres universidades AA, BB y CC. De los estudiantes que terminaron sus estudios el año pasado, el 60% procedían de la universidad AA, el 30% de la universidad BB y el resto de CC. Además, se conoce que la probabilidad de que un estudiante de la universidad AA no encuentre trabajo en su región es 0,40{,}4 y para un estudiante de BB es 0,50{,}5.
a
Si la probabilidad de que un estudiante no encuentre trabajo en su región es 0,3950{,}395, determine la probabilidad de que un estudiante de la universidad CC encuentre trabajo en su región.1,5 pts
b
Calcule la probabilidad de que un estudiante que no haya encontrado trabajo en su región proceda de la universidad BB o de la CC.1 pt
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque C
Sean AA y BB dos sucesos del mismo espacio muestral tales que:P(A∪B)=37,P(AC)=57,P(BC)=23P(A \cup B) = \frac{3}{7}, P(A^C) = \frac{5}{7}, P(B^C) = \frac{2}{3}
a
¿Son AA y BB independientes? ¿Son AA y BB incompatibles?1 pt
b
Calcule P(AC∩BC)P(A^C \cap B^C).0,75 pts
c
Calcule P(A/BC)P(A/B^C).0,75 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque D
Una fábrica de tornillos quiere hacer un estudio sobre la proporción de tornillos que cumplen las especificaciones del fabricante. Para ello ha seleccionado una muestra aleatoria de 15001500 tornillos, resultando que 14251425 cumplen las especificaciones del fabricante.
a
Determine un intervalo de confianza para la proporción de tornillos que cumplen con las especificaciones del fabricante con un nivel de confianza del 97%.1,5 pts
b
Manteniendo la proporción muestral y el nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuál tendría que ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1%?1 pt
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque D
El número de días que los titulados en un cierto máster tardan en encontrar su primer trabajo sigue una distribución Normal de media μ\mu desconocida y desviación típica 33 días.
a
Se elige una muestra aleatoria de 100100 titulados obteniéndose una media muestral de 8,18{,}1 días. Calcule un intervalo de confianza al 97% para estimar la media poblacional.1 pt
b
Con un nivel de confianza del 92%, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para que el error cometido, al estimar el número medio de días que estos titulados tardan en encontrar trabajo, sea inferior a un día.1 pt
c
Suponiendo μ=7,61\mu = 7{,}61 días y tomando muestras aleatorias de 3636 titulados, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria media muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 88 días?0,5 pts
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