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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2025

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 8 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante debe elegir un máximo de 4 preguntas, cualesquiera de ellas. Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas. Tiempo máximo: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque P
Para la realización de un trabajo se precisan de 80 horas haciendo uso de una sola máquina. Cada máquina en funcionamiento genera unos gastos de 10 euros por puesta en marcha y de otros 5 euros por cada hora de uso. Sabiendo además que por cada hora que dure el trabajo hay que pagar 18 euros a un único operario que supervisa la tarea, calcula el número de máquinas a usar para que el gasto sea mínimo. Justifica su condición de mínimo. (Observación: el tiempo necesario para realizar el trabajo es inversamente proporcional al número de máquinas empleadas).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque P
Siendo p(t)=0,15+sen⁡2(π2⋅t)⋅cos⁡(π2⋅t)p(t) = 0{,}15 + \sen^2\left(\frac{\pi}{2} \cdot t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot t\right) el precio del kilovatio/hora de la luz doméstica entre los instantes t0=0t_0 = 0 y t1=1t_1 = 1:
Datos
  • Observación: Recuerda la necesidad de trabajar en radianes.
a
Calcula los instantes en los que el precio ha sido máximo y en los que ha sido mínimo.1,25 pts
b
Calcula el precio medio pˉ\bar{p} de la luz entre los instantes t0=0t_0 = 0 y t1=1t_1 = 1, sabiendo que el valor medio de una función continua ff en el intervalo [a,b][a, b] (a<ba < b) es: fˉ=1b−a∫abf(x)dx\bar{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) dx1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque A
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real mm y resuélvelo en los casos en que sea compatible:{(m2−3m)x−my+2mz=3(m2−3m)x+3y+3mz=m+9(3m−m2)x+my−mz=0\begin{cases} (m^2 - 3m)x - my + 2mz = 3 \\ (m^2 - 3m)x + 3y + 3mz = m + 9 \\ (3m - m^2)x + my - mz = 0 \end{cases}Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque A
Sean AA y BB dos matrices cuadradas 3×33 \times 3 tales que ∣A∣=1/4|A| = 1/4 y ∣B∣=2|B| = 2. Calcula ∣C∣|C| sabiendo que C=2⋅(A⋅Bt)2⋅(Bt)−1C = 2 \cdot (A \cdot B^t)^2 \cdot (B^t)^{-1}.
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque B
Calcula la ecuación continua de la recta tt que pasa por el punto P(2,0,−1)P(2, 0, -1) y corta a las siguientes rectas:s≡{2x+y−3z−6=02x−3z−8=0r≡x+12=y1=z+21s \equiv \begin{cases} 2x + y - 3z - 6 = 0 \\ 2x - 3z - 8 = 0 \end{cases} \quad r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{1}
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque B
Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos A(1,0,−1)A(1, 0, -1) y B(1,4,2)B(1, 4, 2) y los otros dos vértices están contenidos en la recta que pasa por el punto P(6,−4,−4)P(6, -4, -4).
a
Calcula la ecuación de dicha recta.0,5 pts
b
Calcula la ecuación del plano perpendicular al segmento AB‾\overline{AB} que pasa por AA.0,75 pts
c
Calcula los otros dos vértices del cuadrado.1,25 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque C
Sea f(x)=cos⁡(π2⋅x)⋅ln⁡(x2+x−5)f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot x\right) \cdot \ln(x^2 + x - 5).
a
Demuestra que ff es continua en [2,3][2, 3].0,75 pts
b
Demuestra que existe un punto cc en (2,3)(2, 3) tal que f′(c)=0f'(c) = 0. Enuncia el resultado teórico utilizado, y justifica su uso.1,75 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque C
Se considera la función f(x)=3x3x2−4f(x) = \frac{3x^3}{x^2 - 4}. Estudia sus asíntotas y simetrías. Estudia la aproximación de la función a sus asíntotas verticales.
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