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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2017

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcular el valor de los parámetros cc y dd sabiendo que la gráfica de la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=2x3−x2+cx+df(x) = 2x^3 - x^2 + cx + d, tiene como recta tangente en el punto P(1,−2)P(1, -2) la recta de ecuación y=5x−7y = 5x - 7.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Resolver las siguientes integrales:
a
∫12e2(ln⁡2x)23xdx\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{e}{2}} \frac{(\ln 2x)^2}{3x} dx1,25 pts
b
∫3x4+5x2+xx2dx\int \frac{3x^4 + 5x^2 + \sqrt{x}}{x^2} dx1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las matricesA=(101−1);B=(1xx−1−1);C=(0−1−12)\mathrm{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}; \quad \mathrm{B} = \begin{pmatrix} 1 & x \\ x - 1 & -1 \end{pmatrix}; \quad \mathrm{C} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
a
Calcular el valor xx para que se cumpla: A+B+C2=3⋅I2A + B + C^2 = 3 \cdot I_2, donde I2I_2 es la matriz identidad de orden 2.1 pt
b
Calcular la matriz XX solución de la ecuación matricial: A⋅X+C2=3⋅I2A \cdot X + C^2 = 3 \cdot I_2.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dado el plano π ⁣:5x+ay+4z−5=0\pi \colon 5x + ay + 4z - 5 = 0 y la recta r ⁣:x2=y−26=z−2−4r \colon \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z - 2}{-4}, se pide:
a
Calcular el valor del parámetro aa para que la recta rr sea paralela al plano π\pi.1,25 pts
b
Para a=0a = 0, calcular el ángulo que forman el plano π\pi y la recta rr.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x2ex2f(x) = \frac{x^2}{e^{x^2}} se pide:
a
Determinar los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento.1,5 pts
b
Calcular los máximos y mínimos relativos.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dibujar y calcular el área de la región del plano limitada por las siguientes rectas:y=3x;y=x;y=−x+8;x=3y = 3x \quad ; \quad y = x \quad ; \quad y = -x + 8 \quad ; \quad x = 3
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea el sistema de ecuaciones lineales{2x+y+kz=1kx+2y−z=−2y−3z=−3\begin{cases} 2x + y + kz = 1 \\ kx + 2y - z = -2 \\ y - 3z = -3 \end{cases}
a
Estudiarlo y clasificarlo para los distintos valores del parámetro kk.1,5 pts
b
Resolverlo para k=2k = 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados los planos: π1 ⁣:x−y+3=0\pi_1 \colon x - y + 3 = 0 y π2 ⁣:2x+y−z=0\pi_2 \colon 2x + y - z = 0, determinar:
a
La ecuación de la recta perpendicular a π1\pi_1 que pasa por el punto P(2,2,1)P(2, 2, 1).1 pt
b
La ecuación del plano perpendicular a la recta que determinan π1\pi_1 y π2\pi_2 que contiene al punto A(1,1,−1)A(1, 1, -1).1,5 pts
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