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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2016

Matemáticas II · Andalucía 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=ln⁡(x)xf(x) = \frac{\ln(x)}{x}, donde ln⁡\ln denota logaritmo neperiano.
a
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de ff.1 pt
b
Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
De la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=aex−bxf(x) = ae^x - bx, donde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en x=0x = 0 y que ∫01f(x)dx=e−32\int_{0}^{1} f(x) dx = e - \frac{3}{2}. Halla los valores de aa y bb.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la matriz A=(210 01−1 024)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}
a
Estudia, según los valores de λ\lambda, el rango de la matriz A−λIA - \lambda I, siendo II la matriz identidad de orden tres.1,75 pts
b
Resuelve el sistema dado por (A−2I)(x y z)=(0 0 0)(A - 2I) \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea rr la recta dada por {x+z=1 y=−1\begin{cases} x + z = 1 \ y = -1 \end{cases} y sea ss la recta definida por {x=2+λ y=2 z=2+2λ\begin{cases} x = 2 + \lambda \ y = 2 \ z = 2 + 2\lambda \end{cases}
a
Comprueba que las rectas rr y ss se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a rr y a ss.1,75 pts
b
Calcula la distancia entre rr y ss.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. Determina a,b,ca, b, c sabiendo que la gráfica de ff tiene tangente horizontal en el punto de abscisa x=1x = 1 y un punto de inflexión en (−1,5)(-1, 5).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=3x(2m−x)m3f(x) = \frac{3x(2m - x)}{m^3}, con m>0m > 0. Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de ff y el eje OXOX.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales {x+(λ+1)y+z=1 λy+z=0 λy+λz=λ\begin{cases} x + (\lambda + 1)y + z = 1 \ \lambda y + z = 0 \ \lambda y + \lambda z = \lambda \end{cases}
a
Discútelo según los valores de λ\lambda.1 pt
b
Resuélvelo para λ=0\lambda = 0.0,75 pts
c
Determina, si existe, el valor de λ\lambda para el que hay una solución en la que z=2z = 2. Calcula esa solución.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera un rectángulo de vértices consecutivos A,B,CA, B, C y DD siendo A(1,1,0)A(1, 1, 0) y B(2,2,1)B(2, 2, 1). Sabiendo que la recta rr que contiene a los puntos CC y DD pasa por el origen de coordenadas se pide:
a
Halla unas ecuaciones paramétricas de rr.0,75 pts
b
Calcula el área del triángulo ABCABC.1 pt
c
Determina las coordenadas del punto DD.0,75 pts
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