Matemáticas II · Andalucía 2016

Sea la función $f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$, donde $\ln$ denota logaritmo neperiano.

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Determina $a, b, c$ sabiendo que la gráfica de $f$ tiene tangente horizontal en el punto de abscisa $x = 1$ y un punto de inflexión en $(-1, 5)$.

De la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ae^x - bx$, donde $a, b \in \mathbb{R}$ se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en $x = 0$ y que $\int_{0}^{1} f(x) dx = e - \frac{3}{2}$. Halla los valores de $a$ y $b$.

Considera la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \frac{3x(2m - x)}{m^3}$, con $m > 0$. Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de $f$ y el eje $OX$.

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} x + (\lambda + 1)y + z = 1 \ \lambda y + z = 0 \ \lambda y + \lambda z = \lambda \end{cases}$

Sea $r$ la recta dada por $\begin{cases} x + z = 1 \ y = -1 \end{cases}$ y sea $s$ la recta definida por $\begin{cases} x = 2 + \lambda \ y = 2 \ z = 2 + 2\lambda \end{cases}$

Considera un rectángulo de vértices consecutivos $A, B, C$ y $D$ siendo $A(1, 1, 0)$ y $B(2, 2, 1)$. Sabiendo que la recta $r$ que contiene a los puntos $C$ y $D$ pasa por el origen de coordenadas se pide: