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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Configure su examen con cuatro preguntas seleccionadas entre las parejas 1A-1B, 2A-2B, 3A-3B y 4A-4B, correspondientes a cada uno de los bloques de contenido. En caso de presentar dos preguntas de un mismo bloque de contenido, se considerará sólo la primera pregunta respondida de ese bloque. En el desarrollo de cada pregunta, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarla. Se califica todo el proceso. - Se puede utilizar cualquier calculadora científica no programable ni con conexión a Internet.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1Análisis

Seleccione solo una pregunta entre 1A y 1B.

Resuelve los siguientes apartados:
a
Considera la función f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Calcular los coeficientes a,b,c,da, b, c, d, sabiendo que ff tiene un extremo relativo en el punto P(0,1)P(0,1) y su gráfica tiene un punto de inflexión Q(1,−1)Q(1, -1). Dar la expresión de la función f(x)f(x).1,75 pts
b
Resuelve el siguiente límite: lim⁡x→0ex+e−x−21−cos⁡x\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}.0,75 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque 1Análisis

Seleccione solo una pregunta entre 1A y 1B.

Considera las siguientes funciones: y=3x−x2y = 3x - x^2 ; y=x−3y = x - 3
a
Representa el recinto que encierra las dos funciones anteriores.1,5 pts
b
Calcula el área del recinto limitado por las funciones anteriores.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta entre 2A y 2B.

Resuelve los siguientes apartados:
a
Dadas las matrices A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(−1101)B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, para k∈Rk \in \mathbb{R} sea CC la matriz dada por: C=At+kB⋅AC = A^t + k B \cdot A Averigua para qué valores de kk, la matriz CC tiene rango 2.0,75 pts
b
Encuentra la matriz XX, de dimensión 3×33 \times 3, que verifica Mt⋅X=I−MM^t \cdot X = I - M, donde M=(0101−1001−1)M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}1,75 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta entre 2A y 2B.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: {2x+6y+kz=0kx+4y+2z=2kx+6y+2z=k−1\begin{cases} 2x + 6y + kz = 0 \\ kx + 4y + 2z = 2 \\ kx + 6y + 2z = k - 1 \end{cases}
a
Discute la resolución del sistema según los valores que puede tomar el parámetro kk.1,5 pts
b
Resuelve el sistema cuando el parámetro kk toma el valor k=0k = 0.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta entre 3A y 3B.

Resuelve los siguientes problemas del espacio tridimensional:
a
Dadas las rectas r:{x+y+z+1=02x−y+3z−2=0r : \begin{cases} x + y + z + 1 = 0 \\ 2x - y + 3z - 2 = 0 \end{cases} y s:{x=−1+2λy=1+λz=−1−3λs : \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -1 - 3\lambda \end{cases}, estudia la posición relativa entre rr y ss.1,5 pts
b
Halla la ecuación del plano que contiene a la recta rr y es perpendicular al plano π ⁣:2x−y+z−5=0\pi \colon 2x - y + z - 5 = 0.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta entre 3A y 3B.

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de la recta y el plano siguientes: r≡{−3x+2y=5−4y+3z+7=0r \equiv \begin{cases} -3x + 2y = 5 \\ -4y + 3z + 7 = 0 \end{cases} y π≡5x−6y+7z+58=0\pi \equiv 5x - 6y + 7z + 58 = 0
a
Sabiendo que la recta rr y el plano π\pi se cortan en un punto PP, dar la ecuación de la recta ss, perpendicular al plano π\pi que pasa por dicho punto PP.1,5 pts
b
Calcula el ángulo que forman la recta rr y el plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta entre 4A y 4B.

El 10% de la población de Canarias tiene alergia a la flor del olivo. Con esta información, responde a las siguientes preguntas:
a
En una muestra de 100 individuos, ¿qué probabilidad hay de que más de 12 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo?1 pt
b
Se toma una muestra de 400 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 32 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo?1 pt
c
En una muestra de 500 individuos, ¿cuál es el número esperado de individuos que no tendrán alergia a la flor del olivo?0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta entre 4A y 4B.

Una prueba, utilizada para determinar la presencia de plomo en una aleación de acero, es errónea en 8 de cada 100 análisis realizados.
a
Se realizan 10 análisis con esta prueba, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de estos análisis sean erróneos?1 pt
b
Comprueba si es cierta la siguiente afirmación: “En 10 análisis realizados con esta prueba, hay menos de un 5% de posibilidades de encontrar más de dos análisis erróneos”1 pt
c
Si se realizan 100 análisis con esta prueba, ¿cuál es el número esperado de análisis correctos?0,5 pts
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