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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2021

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1
Un operador turístico vende a las agencias locales viajes concertados al Caribe, Islas Maldivas y Tailandia. A una primera agencia A le vende 10 viajes al Caribe, 10 a las Maldivas y 10 a Tailandia, cobrando por todo ello 12.000 euros. A una segunda agencia B le vende 10 viajes al Caribe y 20 a Tailandia, cobrando por todo ello 13.000 euros. Y a una tercera agencia C le vende 10 viajes al Caribe y 10 a las Maldivas, cobrando por todo ello 7.000 euros. Se pide:
a)1,5 pts
Plantea un sistema de ecuaciones que permita calcular el precio del viaje a cada uno de los destinos. Y calcula, si es posible, dicho precio.
b)0,5 pts
Si le obligasen a rebajar un 20 % el precio del viaje al Caribe dejando los otros iguales, ¿cuánto dinero perdería?
c)0,5 pts
¿Cuál sería el precio del viaje a las Islas Maldivas necesario para compensar la bajada del 20 % del viaje al Caribe y así recaudar el mismo dinero? (se mantiene el precio del viaje a Tailandia).
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 1
Sea la matriz A=(a0−1−10001a),a∈R y X=(xyz)A = \begin{pmatrix} a & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad a \in \mathbb{R} \text{ y } X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
a)0,5 pts
Escribe el sistema de ecuaciones AX=XAX = X en la forma BX=0BX = 0.
b)1 pts
Estudia para qué valores de aa el sistema tiene infinitas soluciones.
c)1 pts
Para a=0a = 0 calcula, si existe, la inversa de AA.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 2
Sean las parábolas y1=x2−2x+3y_1 = x^2 - 2x + 3 e y2=ax2+by_2 = ax^2 + b
a)1 pts
Calcula los valores de aa y bb para que en el punto de abscisa x=2x = 2 las dos parábolas tengan la misma recta tangente. Calcula dicha recta tangente.
b)1,5 pts
Para a=1a = 1, b=1b = 1 esboza el recinto limitado por las parábolas entre el eje YY y el punto de corte entre ellas. Calcula el área del mismo.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 2
Sean tres números reales positivos cuya suma es 90 y uno de ellos es la media de los otros dos. Determina los números de forma que el producto entre ellos sea máximo.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Bloque 3
Dadas las rectas r:x+13=y−1−2=zr : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{-2} = z y s:{x+2y=−1z=1s : \begin{cases} x + 2y = -1 \\ z = 1 \end{cases}
a)0,75 pts
Comprueba que las rectas se cruzan.
b)1,25 pts
Obtenga el plano π\pi que contiene a ss y es paralelo a la recta rr. Halla la distancia entre el punto P=(−1,1,0)P = (-1, 1, 0) de la recta rr y el plano π\pi.
c)0,5 pts
Calcula la distancia entre las rectas.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque 3
Dados los puntos A(1,1,0)A(1, 1, 0) y B(0,0,2)B(0, 0, 2) y la recta r:{x=1y=1+λz=1+λr : \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases} Halla:
a)1,25 pts
Un punto C∈rC \in r de forma que el triángulo ABCABC sea rectángulo con el ángulo recto en BB.
b)1,25 pts
El plano π\pi que pasa por AA y BB y es paralelo a rr.
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Bloque 4
En un edificio hay dos ascensores. Cada vecino, cuando utiliza el ascensor, lo hace en el primero el 60 % de las veces y en el segundo el 40 %. El porcentaje de fallos del primer ascensor es del 3 % y del segundo es del 8 %.
a)1,25 pts
Un vecino usa un ascensor. ¿Cuál es la probabilidad de que el ascensor falle?
b)1,25 pts
Otro día, un vecino coge un ascensor y le falla. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido el segundo?
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque 4
Se tiene un suceso con variable aleatoria XX que sigue una distribución normal de media μ=10\mu = 10 y desviación típica σ=2\sigma = 2. Calcula:
a)1,5 pts
La probabilidad de que X∈[6,10]X \in [6, 10].
b)1 pts
Se hace una revisión de los datos y se observa que la media coincide pero la probabilidad del 80 % se alcanza en el valor X≤12X \leq 12. ¿Cuál es la nueva desviación típica?
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