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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INSTRUCCIONES: El alumno deberá elegir una de las dos OPCIONES A o B que figuran en el presente examen y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha OPCIÓN. Para la realización de esta prueba podrá utilizarse calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. TIEMPO: Una hora y treinta minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Un Grupo inversor dispone de un máximo de 9 millones de euros para invertir en dos tipos de fondos de inversión, A y B. El fondo de inversión del tipo A tiene una rentabilidad del 4% anual y una limitación legal de 5 millones de euros de inversión máxima. El fondo de inversión del tipo B tiene una rentabilidad del 3% anual, deben invertirse al menos 2 millones de euros y no hay límite superior de inversión. El Grupo inversor desea invertir en el fondo del tipo B, como máximo, el doble de lo invertido en el fondo del tipo A. ¿Qué cantidad debe invertir el Grupo en cada tipo de fondo para obtener el máximo beneficio anual? Calcúlese dicho beneficio máximo.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Se considera la función real de variable real definida por:f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4
a
Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en su punto de inflexión.1 pt
b
Determínense los extremos relativos de ff y esbócese su gráfica.1 pt
c
Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de ff y la recta de ecuación y=x+1y = x + 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En una residencia universitaria viven 183 estudiantes, de los cuales 130 utilizan la biblioteca. De estos últimos, 70 estudiantes hacen uso de la lavandería, mientras que sólo 20 de los que no usan la biblioteca utilizan la lavandería. Se elige un estudiante de la residencia al azar.
a
¿Cuál es la probabilidad de que utilice la lavandería?1 pt
b
Si el estudiante elegido no utiliza la lavandería, ¿cuál es la probabilidad de que utilice la biblioteca?1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Para medir el coeficiente de inteligencia μ\mu de un individuo, se realizan tests cuya calificación XX se supone que es una variable aleatoria con distribución normal de media igual a μ\mu y desviación típica igual a 15. Un cierto individuo realiza 9 tests con independencia.
a
Si la calificación media de dichos tests es igual a 108, determínese un intervalo de confianza al 95% para su coeficiente de inteligencia μ\mu.1 pt
b
Si el individuo que ha realizado los 9 tests tiene un coeficiente de inteligencia μ=110\mu = 110, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga una calificación media muestral mayor que 120?1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Se consideran las matrices:A=(a−22−12a22a2(a+1)a+1);X=(xyz);O=(000)A = \begin{pmatrix} a - 2 & 2 & - 1 \\ 2 & a & 2 \\ 2 a & 2 (a + 1) & a + 1 \end{pmatrix} \quad ; \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \quad ; \quad O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
a
Calcúlense los valores de aa para los cuales no existe la matriz inversa A−1A^{-1}.1 pt
b
Para a=−1a = -1, calcúlese la matriz inversa A−1A^{-1}.1 pt
c
Para a=0a = 0, calcúlense todas las soluciones del sistema lineal AX=OAX = O.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Se considera la función real de variable real definida por:f(x)={x2+1si x<0ax+bsi 0≤x≤3x−5si x>3f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 0 \\ ax + b & \text{si } 0 \leq x \leq 3 \\ x - 5 & \text{si } x > 3 \end{cases}
a
Calcúlense aa y bb para que la función ff sea continua en todos los puntos.1 pt
b
¿Existen valores de aa para los cuales ff es derivable en x=3x = 3? Razónese la respuesta.0,75 pts
c
Para a=4,b=−1a = 4, b = -1 calcúlese la integral definida ∫−12f(x)dx\int_{-1}^{2} f(x) dx.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sean AA y BB dos sucesos de un experimento aleatorio, tales que P(A)=0,6P(A) = 0{,}6. Calcúlese P(A∩B‾)P(A \cap \overline{B}) en cada uno de los siguientes casos:
a
AA y BB son mutuamente excluyentes.0,5 pts
b
A⊂BA \subset B.0,5 pts
c
B⊂AB \subset A y P(B)=0,3P(B) = 0{,}3.0,5 pts
d
P(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
El saldo en cuenta a fin de año de los clientes de una cierta entidad bancaria se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 400 euros. Con el fin de estimar la media del saldo en cuenta a fin de año para los clientes de dicha entidad, se elige una muestra aleatoria simple de 100 clientes.
a
¿Cuál es el nivel máximo de confianza de la estimación si se sabe que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional es menor o igual que 66 euros?1 pt
b
Calcúlese el tamaño mínimo necesario de la muestra que ha de observarse para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual que 40 euros, con un nivel de confianza del 95%.1 pt
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