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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2021

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá responder razonadamente a cinco preguntas cualesquiera a elegir entre las diez que se proponen. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos. TIEMPO: 90 minutos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Se consideran las matrices A=(a11−1200−a−1)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -a & -1 \end{pmatrix} y B=(−21−1)B = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
a
Calcule los valores del parámetro real aa para los cuales la matriz AA tiene inversa.1 pt
b
Para a=2a = 2 calcule, si existe, la matriz XX que satisface AX=BAX = B.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real aa:{x+2ay+z=0−x−ay=1−y−z=−a\begin{cases} x + 2ay + z = 0 \\ -x - ay = 1 \\ -y - z = -a \end{cases}
a
Discuta el sistema en función de los valores del parámetro real aa.1 pt
b
Resuelva el sistema para a=3a = 3.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Una empresa tecnológica se plantea la producción y lanzamiento de dos nuevos cables de fibra óptica, el modelo A2020 y el modelo B2020. El coste de producir un metro del modelo A2020 es igual a 2 euros, mientras que el coste de producir un metro del modelo B2020 es igual a 0,50{,}5 euros. Para realizar el lanzamiento comercial se necesitan al menos 6000 metros de cable, aunque del modelo B2020 no podrán fabricarse más de 5000 metros y debido al coste de producción no es posible fabricar más de 8000 metros entre los dos modelos. Además se desea fabricar una cantidad de metros del modelo B2020 mayor o igual a la de metros del modelo A2020.
a
Represente la región factible y calcule las coordenadas de sus vértices.1 pt
b
Determine el número de metros que deben producirse de cada uno de los modelos para minimizar el coste.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Se considera la función real de variable real f(x)=x3−2x2(x−1)2f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{(x - 1)^2}.
a
Calcule el dominio y las asíntotas de f(x)f(x).1 pt
b
Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Dada la función real de variable real definida por:f(x)={x2−x−1si x≤33axsi x>3f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{si } x \leq 3 \\ \frac{3a}{x} & \text{si } x > 3 \end{cases}
a
Determine el valor del parámetro real aa para que la función f(x)f(x) sea continua en todo su dominio. ¿Para ese valor de aa es f(x)f(x) derivable?1 pt
b
Para a=1a = 1, calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Se sabe que la derivada de una función real f(x)f(x) de variable real es:f′(x)=3x2+8xf'(x) = 3x^2 + 8x
a
Determine la expresión de f(x)f(x) sabiendo que f(1)=11f(1) = 11.1 pt
b
Determine los máximos y mínimos locales de f(x)f(x), si los hubiera.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Sean AA y BB dos sucesos de un experimento aleatorio, tales que P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B‾)=0,8P(\overline{B}) = 0{,}8 y P(A‾∪B‾)=0,9P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0{,}9.
a
Estudie si los sucesos AA y BB son independientes.1 pt
b
Calcule P(A‾∣B‾)P(\overline{A} | \overline{B}).1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Un colegio tiene alumnos matriculados que residen en dos municipios distintos, AA y BB, siendo el número de alumnos matriculados residentes en el municipio AA el doble de los del municipio BB. Se sabe que la probabilidad de fracaso escolar si se habita en el municipio AA es de 0,020{,}02, mientras que esa probabilidad si se habita en el municipio BB es de 0,060{,}06. Calcule la probabilidad de que un alumno de dicho colegio elegido al azar:
a
No sufra fracaso escolar.1 pt
b
Sea del municipio AA si se sabe que ha sufrido fracaso escolar.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
El peso de los huevos producidos en una granja avícola se puede aproximar por una variable aleatoria de distribución normal de media μ\mu gramos y desviación típica σ=8\sigma = 8 gramos.
a
Se toma una muestra aleatoria simple de 20 huevos, obteniéndose una media muestral de 60 gramos. Determine un intervalo de confianza al 95 % para μ\mu.1 pt
b
Suponga que μ=59\mu = 59 gramos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 10 huevos, la media muestral, X‾\overline{X}, esté comprendida entre 57 y 61 gramos.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
El tiempo necesario para cumplimentar un test psicotécnico se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu minutos y desviación típica σ=3\sigma = 3 minutos.
a
Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de μ\mu sea menor de 1 minuto con un nivel de confianza del 95 %.1 pt
b
Suponga que μ=32\mu = 32 minutos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de tamaño n=16n = 16 pruebas, el tiempo medio empleado en su realización, X‾\overline{X}, sea menor que 30,530{,}5 minutos.1 pt
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