Matemáticas CCSS · Madrid 2021

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -a & -1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$: $$\begin{cases} x + 2ay + z = 0 \\ -x - ay = 1 \\ -y - z = -a \end{cases}$$

Una empresa tecnológica se plantea la producción y lanzamiento de dos nuevos cables de fibra óptica, el modelo A2020 y el modelo B2020. El coste de producir un metro del modelo A2020 es igual a 2 euros, mientras que el coste de producir un metro del modelo B2020 es igual a $0{,}5$ euros. Para realizar el lanzamiento comercial se necesitan al menos 6000 metros de cable, aunque del modelo B2020 no podrán fabricarse más de 5000 metros y debido al coste de producción no es posible fabricar más de 8000 metros entre los dos modelos. Además se desea fabricar una cantidad de metros del modelo B2020 mayor o igual a la de metros del modelo A2020.

Se considera la función real de variable real $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{(x - 1)^2}$.

Dada la función real de variable real definida por: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{si } x \leq 3 \\ \frac{3a}{x} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

Se sabe que la derivada de una función real $f(x)$ de variable real es: $$f'(x) = 3x^2 + 8x$$

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio, tales que $P(A) = 0{,}5$, $P(\overline{B}) = 0{,}8$ y $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0{,}9$.

Un colegio tiene alumnos matriculados que residen en dos municipios distintos, $A$ y $B$, siendo el número de alumnos matriculados residentes en el municipio $A$ el doble de los del municipio $B$. Se sabe que la probabilidad de fracaso escolar si se habita en el municipio $A$ es de $0{,}02$, mientras que esa probabilidad si se habita en el municipio $B$ es de $0{,}06$. Calcule la probabilidad de que un alumno de dicho colegio elegido al azar:

El peso de los huevos producidos en una granja avícola se puede aproximar por una variable aleatoria de distribución normal de media $\mu$ gramos y desviación típica $\sigma = 8$ gramos.

El tiempo necesario para cumplimentar un test psicotécnico se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ minutos y desviación típica $\sigma = 3$ minutos.