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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función f(x)=x3−x+1f(x) = x^3 - x + 1 y la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Estudiar si la función f:[0,2]→Rf: [0, 2] \rightarrow \mathbb{R} dada porf(x)={xsi 0≤x≤1−32x2+72x−1si 1<x≤2f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \\ -\frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{2}x - 1 & \text{si } 1 < x \leq 2 \end{cases}verifica las hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar dicho teorema.1,5 pts
b
Calcular lim⁡x→0cos⁡(2x)−e−x−xxsen⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - e^{-x} - x}{x \sen(x)}.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Calcular el rango de la matriz A=(12345678910111213141516)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{pmatrix}.1,5 pts
b
Si BB es una matriz cuadrada de dimensión 3×33 \times 3 cuyo determinante vale 44, calcula el determinante de 5B5B y el de B2B^2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Determinar la posición relativa de la recta r≡{y−x=1z−2x=0r \equiv \begin{cases} y - x = 1 \\ z - 2x = 0 \end{cases} y el plano π≡x−y=0\pi \equiv x - y = 0.1,5 pts
b
Hallar el plano perpendicular a π\pi que contiene a rr.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f(x)=x2−3x+3x−1f(x) = \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}.
a
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas.2 pts
b
Esbozar su gráfica.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Hallar el valor de los parámetros reales aa y bb para los que la funciónf(x)={sen⁡(x)−axx2si x>0x2+bsi x≤0f(x) = \begin{cases} \frac{\sen(x) - ax}{x^2} & \text{si } x > 0 \\ x^2 + b & \text{si } x \leq 0 \end{cases}es continua en R\mathbb{R}.1,5 pts
b
Calcular ∫ln⁡(x)x2dx\int \frac{\ln(x)}{x^2} dx.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro mm:{x+y+z=1x−y−z=03x+my+z=m+1\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y - z = 0 \\ 3x + my + z = m + 1 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Hallar la recta rr que pasa por el punto A(1,1,0)A(1, 1, 0), está contenida en el plano π≡x+y=0\pi \equiv x + y = 0, y corta a la recta s≡x=y=zs \equiv x = y = z.1,5 pts
b
Hallar la distancia del punto B(2,2,2)B(2, 2, 2) a la recta ss.1 pt
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