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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2021

8 ejercicios

Instrucciones

Realiza cuatro preguntas de las ocho que se presentan.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{(a−1)x−y=3(a−1)x+(a+1)y−(2−a)z=−2a(−2a+2)x−ay+(a2−a−2)z=3a−1 \begin{cases} (a - 1) x - y = 3 \\ (a - 1) x + (a + 1) y - (2 - a) z = - 2 a \\ (- 2 a + 2) x - a y + (a^{2} - a - 2) z = 3 a - 1 \end{cases} Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula los valores del parámetro tt para que se cumpla la condición ∣A3∣=8|A^{3}| = 8, siendo AA la siguiente matriz:A=(t−1t+13t2−tt2+2tt1−t−1−t−2) A = \begin{pmatrix} t - 1 & t + 1 & 3 \\ t^{2} - t & t^{2} + 2 t & t \\ 1 - t & - 1 - t & - 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Encuentra la ecuación general del plano π\pi que es paralelo a las rectasr≡{x+2y+z+3=0x+6y−z−7=0ys≡x−33=y+23=z+21 r \equiv \begin{cases} x + 2 y + z + 3 = 0 \\ x + 6 y - z - 7 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 3}{3} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 2}{1} y equidista de ambas.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Un lado de un paralelogramo está sobre la recta r≡x−1−2=y+1−1=z−12r \equiv \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2}. Otro lado lo determinan los puntos A(−1,−2,3)A(- 1, - 2, 3) y B(2,−2,−1)B(2, - 2, - 1). Calcula los otros dos vértices del paralelogramo sabiendo que su perímetro mide 1616 u.
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sea la función f(x)=(x2−3x+10)log⁡[2x−1⋅sen⁡π(x+2)6]f(x) = (x^{2} - 3x + 10)^{\log [2^{x - 1} \cdot \sen \frac{\pi (x + 2)}{6}]}
a
Demuestra que la función es continua en el intervalo [1,3][1, 3].1,25 pts
b
Demuestra que existe α∈(1,3)\alpha \in (1, 3) tal que f(α)=32f(\alpha) = \frac{3}{2}. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Calcula las asíntotas de esta función y estudia la posición de la curva respecto a ellas:f(x)=x3−4x−1x2−4 f(x) = \frac{x^{3} - 4 x - 1}{x^{2} - 4}
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Sea la función f(x)=ln⁡(5x−2−xsen⁡π2x2−4x+6)f(x) = \ln \left( \frac{5 x - 2 - x \sen \frac{\pi}{2}}{x^{2} - 4 x + 6} \right)
a
Demuestra que la función es continua en el intervalo [1,3][1, 3].1 pt
b
Demuestra que existe α∈(1,3)\alpha \in (1, 3) tal que f′(α)=32ln⁡2f'(\alpha) = \frac{3}{2} \ln 2. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Calcula los valores de las abscisas aa y bb que aparecen en el gráfico, y, después, comprueba que las áreas de las dos regiones sombreadas son iguales:
Gráfica de las funciones f(x) = e/x y g(x) = ln x con dos regiones sombreadas entre las abscisas a y b.
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