Matemáticas II · Navarra 2021

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a - 1) x - y = 3 \\ (a - 1) x + (a + 1) y - (2 - a) z = - 2 a \\ (- 2 a + 2) x - a y + (a^{2} - a - 2) z = 3 a - 1 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Calcula los valores del parámetro $t$ para que se cumpla la condición $|A^{3}| = 8$, siendo $A$ la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} t - 1 & t + 1 & 3 \\ t^{2} - t & t^{2} + 2 t & t \\ 1 - t & - 1 - t & - 2 \end{pmatrix}$$

Encuentra la ecuación general del plano $\pi$ que es paralelo a las rectas $$r \equiv \begin{cases} x + 2 y + z + 3 = 0 \\ x + 6 y - z - 7 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 3}{3} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 2}{1}$$ y equidista de ambas.

Un lado de un paralelogramo está sobre la recta $r \equiv \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$. Otro lado lo determinan los puntos $A(- 1, - 2, 3)$ y $B(2, - 2, - 1)$. Calcula los otros dos vértices del paralelogramo sabiendo que su perímetro mide $16$ u.

Sea la función $f(x) = (x^{2} - 3x + 10)^{\log [2^{x - 1} \cdot \sen \frac{\pi (x + 2)}{6}]}$

Calcula las asíntotas de esta función y estudia la posición de la curva respecto a ellas: $$f(x) = \frac{x^{3} - 4 x - 1}{x^{2} - 4}$$

Sea la función $f(x) = \ln \left( \frac{5 x - 2 - x \sen \frac{\pi}{2}}{x^{2} - 4 x + 6} \right)$

Calcula los valores de las abscisas $a$ y $b$ que aparecen en el gráfico, y, después, comprueba que las áreas de las dos regiones sombreadas son iguales: