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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2017

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Los 4 primeros ejercicios se puntuarán sobre un máximo de 2,25 puntos, y el quinto ejercicio sobre un máximo de 1 punto. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,25 puntos
Sean A=(1−4−13)A = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} y B=(1−1−11)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.
a
Estudiar si AA y BB tienen inversa y calcularla cuando sea posible.1 pt
b
Determinar XX tal que AX=2B+IAX = 2B + I siendo I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,25 puntos
Determinar la recta rr que es paralela al plano π≡x−y−z=0\pi \equiv x - y - z = 0 y que corta perpendicularmente a la recta s≡x−11=y+32=z−2−4s \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{-4} en el punto P(2,1,2)P(2, 1, 2).
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Ejercicio 3

3
2,25 puntos
a
Enunciar el teorema de Bolzano e interpretarlo geométricamente.1 pt
b
Encontrar un intervalo en el que P(x)=x6+x4−1P(x) = x^6 + x^4 - 1 tenga al menos una raíz.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,25 puntos
a
Calcular la recta tangente a la curva f(x)=4ex−1f(x) = 4e^{x-1} en el punto (1,f(1))(1, f(1)).1 pt
b
Calcular el área de la región delimitada en el primer cuadrante por la gráfica de la función g(x)=x3g(x) = x^3 y la recta y=4xy = 4x.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
1 punto
Se lanzan dos dados (con forma cúbica) al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 8?
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Ejercicio 1

1
2,25 puntos
a
Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro λ\lambda:{x+λy+λz=1x+y+z=1x+2y+4z=2\begin{cases} x + \lambda y + \lambda z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = 2 \end{cases}1,25 pts
b
Resolverlo para λ=1\lambda = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,25 puntos
Dado el plano π≡3x+y+z−2=0\pi \equiv 3x + y + z - 2 = 0 y los puntos P(0,1,1)P(0, 1, 1) y Q(2,1,3)Q(2, 1, 3) que pertenecen al plano π\pi, determinar la recta del plano π\pi que pasa por el punto medio entre PP y QQ y es perpendicular a la recta que une estos puntos.
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Ejercicio 3

3
2,25 puntos
a
Dado el polinomio P(x)=x33−3x22+2x+CP(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C, hallar CC para que el valor de P(x)P(x) en su mínimo relativo sea 1.1,25 pts
b
Calcular lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x \to 0^+} x \ln x.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,25 puntos
Sea f(x)={(x−1)2si x≤1a+ln⁡xsi x>1f(x) = \begin{cases} (x - 1)^2 & \text{si } x \leq 1 \\ a + \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
Encontrar aa para que la función sea continua.1 pt
b
Hallar el área de la región delimitada por la gráfica de f(x)f(x) y las rectas x=1,y=1x = 1, y = 1.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
1 punto
La probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es 12\frac{1}{2}. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 caras en tres lanzamientos?
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