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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2021

6 ejercicios

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
La tabla siguiente muestra los ingresos, en miles de euros, de una tienda que dispone de tres locales, durante los meses de enero, febrero y marzo de 2020. Hemos recogido la información anterior en la matriz A, en la que cada fila indica un local y cada columna el mes correspondiente: A=(13,513,24,21112,53,815142,7).\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 13{,}5 & 13{,}2 & 4{,}2 \\ 11 & 12{,}5 & 3{,}8 \\ 15 & 14 & 2{,}7 \end{pmatrix}.
EneroFebreroMarzo
Local 113,513,24,2
Local 21112,53,8
Local 315142,7
a)1,25 pts
Considere los vectores ν=(111)\nu = (1 \quad 1 \quad 1) y w=(111)w = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. Haga las operaciones ν⋅A\nu \cdot A y A⋅wA \cdot w. Interprete en cada caso el resultado obtenido.
b)1,25 pts
La matriz B recoge los resultados del trimestre siguiente, es decir, los ingresos correspondientes a los meses de abril, mayo y junio de 2020: B=(264275411x).\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 2 & 7 & 5 \\ 4 & 11 & x \end{pmatrix}. Desconocemos el dato correspondiente al mes de junio del local 3, que hemos denominado x, pero sabemos que el rango de la matriz B es 2. Encuentre el valor de x.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Filomena hace una fiesta e invita a los amigos a comer un pastel. Ha ido a la tienda y ha comprado una docena de huevos, una bolsa de harina de almendra y un paquete de azúcar moreno. La fiesta ha sido un éxito y decide repetir el encuentro y volver a hacer el pastel. Vuelve a la tienda y compra otra docena de huevos y dos bolsas de harina de almendra. Pero una vez en casa se da cuenta de que no tiene nada de azúcar. Vuelve a la tienda y compra un paquete de azúcar moreno y también otra docena de huevos. La primera compra le costó 6 €, la segunda 6,5 € y la última 3,5 €.
a)0,75 pts
Plantee un sistema de ecuaciones con los datos del problema.
b)1,75 pts
Calcule el precio de una docena de huevos, el de una bolsa de harina de almendra y el de un paquete de azúcar moreno.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Un restaurante que acaba de abrir quiere poner anuncios en la radio y en la televisión locales durante una semana para darse a conocer y aumentar así el número de clientes. Tiene un presupuesto máximo de 18.000 euros. Cada anuncio en la radio cuesta 1.000 euros y el contrato prevé que como mínimo hay que hacer 3. Cada anuncio en la televisión cuesta 3.000 euros y, por disponibilidad de programación, se pueden hacer como máximo 4. Se estima que cada anuncio en la radio supone un incremento de 10 clientes para el restaurante y que cada anuncio en la televisión supone un incremento de 60 clientes.
a)1,25 pts
Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible.
b)1,25 pts
Calcule cuántos anuncios deberá poner en la radio y cuántos en la televisión para que el número de clientes nuevos sea máximo. ¿Cuántos clientes nuevos obtendrá?
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
La función C(t)=3−1t2−4t+5C(t) = 3 - \frac{1}{t^2 - 4t + 5}, en la que t son los años transcurridos y C(t) la cantidad de clientes, expresada en miles, modeliza la evolución de una empresa que ha entrado en crisis.
a)0,5 pts
Calcule cuántos clientes tenía la empresa en el momento inicial y cuántos tenía al cabo de un año.
b)1 pts
Encuentre el instante en que la empresa deja de perder clientes y calcule cuántos clientes tiene en ese instante.
c)1 pts
Calcule cuánto tiempo deberá pasar para que la empresa consiga tener de nuevo el mismo número de clientes que en el momento de iniciar el estudio.
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Una empresa pone a la venta un producto que distribuye en cajas. El beneficio B obtenido por la empresa, expresado en miles de euros, viene dado por la expresión B(x)=−x2+16x−55B(x) = -x^2 + 16x - 55, en la que x>0x > 0 es el precio de venta de cada caja, expresado en euros.
a)1,25 pts
¿Qué beneficio obtendrá si el precio de venta de cada caja es de 6 euros? ¿Entre qué valores hay que fijar el precio de venta de una caja para obtener beneficios?
b)1,25 pts
¿A qué precio debe vender cada caja para que el beneficio sea el mayor posible? ¿Cuál es ese beneficio máximo?
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere la función f(x)=px3−4x2+7px−18f(x) = p x^3 - 4x^2 + 7p x - 18.
a)1,25 pts
Calcule cuál debe ser el valor del parámetro p para que las rectas tangentes a la curva en los puntos de abscisas x=1x = 1 y x=3x = 3 sean paralelas.
b)1,25 pts
Escriba la ecuación de la recta tangente al punto de abscisa x=3x = 3 para el valor de p=2p = 2.
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