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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c.
a
Halla aa, bb y cc para que la gráfica de ff tenga un punto de inflexión de abscisa x=12x = \frac{1}{2} y que la recta tangente en el punto de abscisa x=0x = 0 tenga por ecuación y=5−6xy = 5 - 6x.1,75 pts
b
Para a=3a = 3, b=−9b = -9 y c=8c = 8, calcula los extremos relativos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} y g:R→Rg : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} las funciones definidas respectivamente porf(x)=∣x∣2yg(x)=11+x2f(x) = \frac{|x|}{2} \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{1}{1 + x^2}
a
Esboza las gráficas de ff y gg sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.1 pt
b
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ff y gg.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales{x+2y−3z=32x+3y+z=5\begin{cases} x + 2y - 3z = 3 \\ 2x + 3y + z = 5 \end{cases}
a
Calcula α\alpha de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma αx+y−7z=1\alpha x + y - 7z = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original.1,5 pts
b
Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 44.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera la recta rr que pasa por los puntos A(1,0,−1)A(1, 0, -1) y B(−1,1,0)B(-1, 1, 0).
a
Halla la ecuación de la recta ss paralela a rr que pasa por C(−2,3,2)C(-2, 3, 2).1 pt
b
Calcula la distancia de rr a ss.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de 125 m3125\,\text{m}^3. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=xln⁡(x+1)f(x) = x \ln(x + 1) para x>−1x > -1 (ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano). Determina la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (1,0)(1, 0).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matricesA=(011100001)yB=(1−111−10−123)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}Determina, si existe, la matriz XX que verifica AX+B=A2AX + B = A^2.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea rr la recta definida por {x+2y−z=32x−y+z=1\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}
a
Determina la ecuación general del plano que contiene a rr y pasa por el origen de coordenadas.1,5 pts
b
Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a rr en el punto (1,1,0)(1, 1, 0).1 pt
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