Matemáticas II · Andalucía 2014

Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.

Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de $125\,\text{m}^3$. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.

Sean $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ las funciones definidas respectivamente por $$f(x) = \frac{|x|}{2} \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{1}{1 + x^2}$$

Sea $f$ la función definida por $f(x) = x \ln(x + 1)$ para $x > -1$ ($\ln$ denota el logaritmo neperiano). Determina la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(1, 0)$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} x + 2y - 3z = 3 \\ 2x + 3y + z = 5 \end{cases}$$

Considera las matrices $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ Determina, si existe, la matriz $X$ que verifica $AX + B = A^2$.

Considera la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(-1, 1, 0)$.

Sea $r$ la recta definida por $\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$