Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2014Variante 3

Matemáticas II · Andalucía 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sabiendo que lim⁡x→1(xx−1−aln⁡x)\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x - 1} - \frac{a}{\ln x} \right) es finito, calcula aa y el valor del límite (ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano).
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determina una función derivable f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} sabiendo que f(1)=−1f(1) = -1 y quef′(x)={x2−2xsi x<0ex−1si x≥0f'(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x < 0 \\ e^x - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se sabe que el determinante de la matriz A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} es −3-3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:
a
det⁡(−2A)\det(-2A) y det⁡(A−1)\det(A^{-1}).1 pt
b
∣a21a22a237a117a127a132a312a322a33∣\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 7a_{11} & 7a_{12} & 7a_{13} \\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} y ∣a11a21+2a315a31a12a22+2a325a32a13a23+2a335a33∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} + 2a_{31} & 5a_{31} \\ a_{12} & a_{22} + 2a_{32} & 5a_{32} \\ a_{13} & a_{23} + 2a_{33} & 5a_{33} \end{vmatrix}1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los vectores u⃗=(1,−1,3)\vec{u} = (1, -1, 3), v⃗=(1,0,−1)\vec{v} = (1, 0, -1) y w⃗=(λ,1,0)\vec{w} = (\lambda, 1, 0).
a
Calcula los valores de λ\lambda que hacen que u⃗\vec{u} y w⃗\vec{w} sean ortogonales.0,75 pts
b
Calcula los valores de λ\lambda que hacen que u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} y w⃗\vec{w} sean linealmente independientes.0,75 pts
c
Para λ=1\lambda = 1 escribe el vector r⃗=(3,0,2)\vec{r} = (3, 0, 2) como combinación lineal de u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} y w⃗\vec{w}.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función derivable f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida porf(x)={ex−e−x2xsi x<0ax+bsi x≥0f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} & \text{si } x < 0 \\ ax + b & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Calcula aa y bb.1,75 pts
b
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=−1x = -1.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera el recinto limitado por las siguientes curvasy=x2,y=2−x2,y=4y = x^2, \quad y = 2 - x^2, \quad y = 4
a
Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas.1 pt
b
Calcula el área del recinto.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matrices,A=(102111230) y B=(20−33−1−3−1−2−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & -3 \\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}
a
Calcula A−1A^{-1}.0,5 pts
b
Halla la matriz XX que verifica que AtX+B=IA^t X + B = I, siendo II la matriz identidad y AtA^t la matriz traspuesta de AA.2 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea rr la recta dada por x+22=y+1=z−1−3\frac{x + 2}{2} = y + 1 = \frac{z - 1}{-3} y sea ss la recta dada por {x−y−3=03y−z+6=0\begin{cases} x - y - 3 = 0 \\ 3y - z + 6 = 0 \end{cases}
a
Estudia la posición relativa de rr y ss.1 pt
b
Halla la ecuación general del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.1,5 pts
Ver este ejercicio