Matemáticas II · Andalucía 2014

Sabiendo que $\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x - 1} - \frac{a}{\ln x} \right)$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite ($\ln$ denota el logaritmo neperiano).

Considera la función derivable $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} & \text{si } x < 0 \\ ax + b & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Determina una función derivable $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sabiendo que $f(1) = -1$ y que $$f'(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x < 0 \\ e^x - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Considera el recinto limitado por las siguientes curvas $$y = x^2, \quad y = 2 - x^2, \quad y = 4$$

Se sabe que el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ es $-3$. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

Considera las matrices, $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & -3 \\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$

Considera los vectores $\vec{u} = (1, -1, 3)$, $\vec{v} = (1, 0, -1)$ y $\vec{w} = (\lambda, 1, 0)$.

Sea $r$ la recta dada por $\frac{x + 2}{2} = y + 1 = \frac{z - 1}{-3}$ y sea $s$ la recta dada por $\begin{cases} x - y - 3 = 0 \\ 3y - z + 6 = 0 \end{cases}$