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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2007Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2007

6 ejercicios

Instrucciones

(Responder solo a una de las opciones de cada bloque temático).

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Álgebra lineal
a
Sean F1,F2,F3F_1, F_2, F_3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada MM de orden 3, con det⁡(M)=−2\det(M) = -2. Calcula el valor del determinante de la matriz que tiene por filas F1−F2,2F1,F2+F3F_1 - F_2, 2F_1, F_2 + F_3.1 pt
b
Dada la matriz C=(1121)C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, halla dos matrices XX e YY que verifican:X+Y−1=CX + Y^{-1} = CX−Y−1=CtX - Y^{-1} = C^tsiendo CtC^t la matriz traspuesta de CC.2 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
Álgebra lineal
a
Discute, según los valores del parámetro mm, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{mx+y+z=0x−my−z=12x+y+z=0\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x - my - z = 1 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}2 pts
b
Resuélvelo, si es posible, en el caso m=2m = 2.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
Geometría
a
Los puntos A(1,1,0)A(1,1,0), B(0,1,1)B(0,1,1) y C(−1,0,1)C(-1,0,1) son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCDABCD. Calcula las coordenadas del vértice DD y el área del paralelogramo.2 pts
b
Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto B(0,1,1)B(0,1,1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(1,1,0)A(1,1,0) y C(−1,0,1)C(-1,0,1).1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
3 puntos
Geometría
Dadas las rectas r:{y=2+λz=2+2λx=1r: \begin{cases} y = 2 + \lambda \\ z = 2 + 2\lambda \\ x = 1 \end{cases} (inferido del contexto de posición relativa) y s:x1=y+12=z+22s: \frac{x}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+2}{2}
a
Estudia su posición relativa.2 pts
b
Calcula la ecuación del plano que contiene las dos rectas.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
4 puntos
Análisis
a
Dada la función f(x)={ax2+1si x<2e2−x+2si x≥2f(x) = \begin{cases} ax^2 + 1 & \text{si } x < 2 \\ e^{2-x} + 2 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}, calcula aa para que f(x)f(x) sea continua en x=2x = 2. Para el valor obtenido de aa, ¿es f(x)f(x) derivable en x=2x = 2?1 pt
b
Dada g(x)=ax4+bx+cg(x) = ax^4 + bx + c, calcula los valores de a,b,ca, b, c para que g(x)g(x) tenga en el punto (1,−1)(1, -1) un mínimo relativo y la recta tangente a la gráfica de g(x)g(x), en x=0x = 0, sea paralela a la recta y=4xy = 4x.1,5 pts
c
Enunciado del teorema fundamental del cálculo integral. Dada la función F(x)=∫0xe−t2dtF(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt, ¿tiene F(x)F(x) puntos de inflexión? Justifica la respuesta.1,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
4 puntos
Análisis
a
Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle.1 pt
b
Dada f(x)=x3−9xf(x) = x^3 - 9x, calcula para f(x)f(x): puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.2 pts
c
Calcula el área de la región del plano limitada por el eje OXOX y la curva y=x3−9xy = x^3 - 9x.1 pt
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