Matemáticas II · Galicia 2007

Sean $F_1, F_2, F_3$ las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada $M$ de orden 3, con $\det(M) = -2$. Calcula el valor del determinante de la matriz que tiene por filas $F_1 - F_2, 2F_1, F_2 + F_3$.

Dada la matriz $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, halla dos matrices $X$ e $Y$ que verifican: $$X + Y^{-1} = C$$ $$X - Y^{-1} = C^t$$ siendo $C^t$ la matriz traspuesta de $C$.

Discute, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x - my - z = 1 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}$$

Resuélvelo, si es posible, en el caso $m = 2$.

Los puntos $A(1,1,0)$, $B(0,1,1)$ y $C(-1,0,1)$ son vértices consecutivos de un paralelogramo $ABCD$. Calcula las coordenadas del vértice $D$ y el área del paralelogramo.

Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto $B(0,1,1)$ y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos $A(1,1,0)$ y $C(-1,0,1)$.

Estudia su posición relativa.

Calcula la ecuación del plano que contiene las dos rectas.

Dada la función $f(x) = \begin{cases} ax^2 + 1 & \text{si } x < 2 \\ e^{2-x} + 2 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$, calcula $a$ para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$. Para el valor obtenido de $a$, ¿es $f(x)$ derivable en $x = 2$?

Dada $g(x) = ax^4 + bx + c$, calcula los valores de $a, b, c$ para que $g(x)$ tenga en el punto $(1, -1)$ un mínimo relativo y la recta tangente a la gráfica de $g(x)$, en $x = 0$, sea paralela a la recta $y = 4x$.

Enunciado del teorema fundamental del cálculo integral. Dada la función $F(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt$, ¿tiene $F(x)$ puntos de inflexión? Justifica la respuesta.

Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle.

Dada $f(x) = x^3 - 9x$, calcula para $f(x)$: puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

Calcula el área de la región del plano limitada por el eje $OX$ y la curva $y = x^3 - 9x$.