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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde existaf(x)={sen⁡2x+13⋅e−2x,si x≤0x+13+ln⁡(x+1),si 0<x<2x2−2x,si x≥2f(x) = \begin{cases} \sen 2x + \frac{1}{3} \cdot e^{-2x}, & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{x + 1}{3} + \ln(x + 1), & \text{si } 0 < x < 2 \\ \sqrt{x^2 - 2x}, & \text{si } x \geq 2 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante, que tenga un vértice en el origen de coordenadas, un vértice sobre el eje OX, otro sobre el eje OY y otro sobre la recta de ecuación 4x+3y=124x + 3y = 12.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dado el sistema {3x−ay=−32x+ay−5z=13x+3y−2z=5\begin{cases} 3x - ay = -3 \\ 2x + ay - 5z = 13 \\ x + 3y - 2z = 5 \end{cases}
a
Estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro aa.1,75 pts
b
Resolverlo para a=9a = 9.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados los puntos A(−1,2,0)A(-1, 2, 0) y B(2,1,−1)B(2, 1, -1)
a
Determinar si el punto C(5,0,−2)C(5, 0, -2) está alineado con los anteriores, explicando el motivo (hacer un dibujo esquemático de la situación).0,75 pts
b
Hallar las ecuaciones de la recta que contiene a los puntos AA y BB, en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos.1,25 pts
c
Hallar ecuación en forma general del plano que pasa por BB y es perpendicular a la recta ABAB.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Representar la gráfica de una función f(x)f(x) que tenga las siguientes propiedades:
a
Es continua en todos los reales salvo −4-4 y 00.
b
Tiene asíntotas verticales x=−4x = -4 y x=0x = 0.
c
Para x→+∞x \rightarrow +\infty, se cumple f(x)→0f(x) \rightarrow 0.
d
Corta al eje OX solamente en un punto, que es de inflexión.
e
Su función derivada es negativa en (−∞,−6)(-\infty, -6) y en (−4,0)(-4, 0), siendo positiva en (−6,−4)(-6, -4) y en (0,+∞)(0, +\infty).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se desea hacer una ventana con forma de triángulo rectángulo, de modo que el lado mayor sea de 22 metros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los otros dos lados para que la ventana tenga área máxima?
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las matricesA=(−10121−1130),B=(−21532−2107),C=(2013−1401−3)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 7 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}
a
Calcular la inversa de AA paso a paso.1,5 pts
b
Resolver la ecuación A⋅X=B+CA \cdot X = B + C.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados la recta r:{2x−3y+z=0x+y−2z=1r : \begin{cases} 2x - 3y + z = 0 \\ x + y - 2z = 1 \end{cases} y el punto P(−1,2,3)P(-1, 2, 3) Hallar ecuación en forma general del plano que los contiene.
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