Matemáticas II · Canarias 2011

Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista $$f(x) = \begin{cases} \sen 2x + \frac{1}{3} \cdot e^{-2x}, & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{x + 1}{3} + \ln(x + 1), & \text{si } 0 < x < 2 \\ \sqrt{x^2 - 2x}, & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$

Representar la gráfica de una función $f(x)$ que tenga las siguientes propiedades:

Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante, que tenga un vértice en el origen de coordenadas, un vértice sobre el eje OX, otro sobre el eje OY y otro sobre la recta de ecuación $4x + 3y = 12$.

Se desea hacer una ventana con forma de triángulo rectángulo, de modo que el lado mayor sea de $2$ metros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los otros dos lados para que la ventana tenga área máxima?

Dado el sistema $\begin{cases} 3x - ay = -3 \\ 2x + ay - 5z = 13 \\ x + 3y - 2z = 5 \end{cases}$

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 7 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$

Dados los puntos $A(-1, 2, 0)$ y $B(2, 1, -1)$

Dados la recta $r : \begin{cases} 2x - 3y + z = 0 \\ x + y - 2z = 1 \end{cases}$ y el punto $P(-1, 2, 3)$ Hallar ecuación en forma general del plano que los contiene.