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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2005Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2005

10 ejercicios

Instrucciones

En esta primera parte todos los alumnos deben responder a tres preguntas. Una sola pregunta de cada uno de los tres bloques temáticos: Álgebra Lineal, Geometría y Análisis. La puntuación máxima de cada pregunta es 2,5 puntos.

Ejercicio 1 · Opción 4.a

1Opción 4.a
2,5 puntos
Segunda parte4.a

Responda a una de las dos preguntas.

a
Definición de cota superior de una sucesión de números reales. Definición de sucesión acotada inferiormente.1 pt
b
Demuestre que la sucesión de término general an=4n−1n+1a_n = \frac{4n-1}{n+1} es creciente y halle una cota inferior positiva (justificando que es cota inferior).1,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción 4.b

1Opción 4.b
2,5 puntos
Segunda parte4.b

Responda a una de las dos preguntas.

a
Propiedades de la función de densidad de una variable aleatoria que sigue una distribución normal.1 pt
b
Si XX es una variable aleatoria normal de media μ>0\mu > 0 y varianza σ2\sigma^2, entonces P(μ2≤X≤3μ2)P(\frac{\mu}{2} \leq X \leq \frac{3\mu}{2}) vale: a) cero b) 2P(Z≤μ2σ)−12P(Z \leq \frac{\mu}{2\sigma}) - 1, donde ZZ es una variable aleatoria que sigue una distribución N(0,1)N(0,1). c) ninguna de las anteriores. Elija una de las tres respuestas justificando su elección.1,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción álgebra lineal

1Opción álgebra lineal
2,5 puntos
Primeira parteÁlgebra lineal

Responda a una de las dos preguntas.

Halle todas las matrices A=(aij)A = (a_{ij}), cuadradas de orden tres, tales que a21=a32=0a_{21} = a_{32} = 0 y A+At=4IA + A^t = 4I, siendo II la matriz identidad de orden tres y AtA^t la matriz traspuesta de AA, de las que además se sabe que su determinante vale 1010.
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Ejercicio 1 · Opción análisis

1Opción análisis
2,5 puntos
Primeira parteAnálisis

Responda a una de las dos preguntas.

a
Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo integral para funciones continuas.1 pt
b
Sea f:[−2,2]⊂R→Rf: [-2, 2] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continua en [−2,2][-2, 2] tal que ∫−2−1f(t)dt=∫12f(t)dt\int_{-2}^{-1} f(t) dt = \int_{1}^{2} f(t) dt. ¿Se puede asegurar que existen bb y cc en [−2,2][-2, 2] tales que b≤−1b \leq -1, c≥1c \geq 1 y f(b)=f(c)f(b) = f(c)? Justifique su respuesta.1,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción geometría

1Opción geometría
2,5 puntos
Primeira parteGeometría

Responda a una de las dos preguntas.

Calcule la distancia entre las rectas:
Datos
  • r:{x=y−13=z−47}r: \{ x = \frac{y-1}{3} = \frac{z-4}{7} \}
  • s:{x−2=y−23=z−34}s: \{ x-2 = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4} \}
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Ejercicio 2 · Opción 4.a

2Opción 4.a
2,5 puntos
Segunda parte4.a

Responda a una de las dos preguntas.

a
Explique BREVEMENTE el método de integración de funciones racionales P(x)/Q(x)P(x)/Q(x), en el caso de que el polinomio del denominador, Q(x)Q(x), tenga solo raíces reales.1 pt
b
Calcule ∫2x−1x(x+1)2dx\int \frac{2x-1}{x(x+1)^2} dx.1,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción 4.b

2Opción 4.b
2,5 puntos
Segunda parte4.b

Responda a una de las dos preguntas.

a
¿La media de una variable aleatoria puede ser negativa? (a) Nunca (b) Siempre (c) Solo si las probabilidades son negativas (d) Ninguna de las anteriores. Escoja una de las anteriores respuestas y razone por qué las otras tres opciones no son correctas.1,25 pts
b
Si XX es una variable aleatoria discreta de media mm, demuestre (empleando la definición de media) que la media de la variable aleatoria discreta YY, con Y=a+bXY = a + bX (para cualesquiera a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}), es a+bma + bm.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción álgebra lineal

2Opción álgebra lineal
2,5 puntos
Primeira parteÁlgebra lineal

Responda a una de las dos preguntas.

Discuta e interprete geométricamente, según los diferentes valores del parámetro mm, el siguiente sistema:
Datos
  • {−x+y−z=−14x−2y+2z=2m−3x−2y+mz=−4\begin{cases} -x + y - z = -1 \\ 4x - 2y + 2z = 2m \\ -3x - 2y + mz = -4 \end{cases}
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Ejercicio 2 · Opción análisis

2Opción análisis
2,5 puntos
Primeira parteAnálisis

Responda a una de las dos preguntas.

a
Enunciado de la Regla de L'Hopital.1 pt
b
Calcule la relación entre aa y bb para que sea continua en toda la recta real la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)={eax−12xsi x≠0bsi x=0f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{2x} & \text{si } x \neq 0 \\ b & \text{si } x = 0 \end{cases}1,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción geometría

2Opción geometría
2,5 puntos
Primeira parteGeometría

Responda a una de las dos preguntas.

Demuestre que los puntos P=(0,0,4)P = (0, 0, 4), Q=(3,3,3)Q = (3, 3, 3), R=(2,3,4)R = (2, 3, 4) y S=(3,0,1)S = (3, 0, 1) son coplanarios y determine el plano que los contiene.
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