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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2005Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2005

10 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción 4.a

1Opción 4.a
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE4.a

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Definición de cota superior de una sucesión de números reales. Definición de sucesión acotada inferiormente.
b)1,5 pts
Demuestre que la sucesión de término general an=4n−1n+1a_n = \frac{4n-1}{n+1} es creciente y halle una cota inferior positiva (justificando que es cota inferior).
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Ejercicio 1 · Opción 4.b

1Opción 4.b
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE4.b

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Propiedades de la función de densidad de una variable aleatoria que sigue una distribución normal.
b)1,5 pts
Si XX es una variable aleatoria normal de media μ>0\mu > 0 y varianza σ2\sigma^2, entonces P(μ2≤X≤3μ2)P(\frac{\mu}{2} \leq X \leq \frac{3\mu}{2}) vale: a) cero b) 2P(Z≤μ2σ)−12P(Z \leq \frac{\mu}{2\sigma}) - 1, donde ZZ es una variable aleatoria que sigue una distribución N(0,1)N(0,1). c) ninguna de las anteriores. Elija una de las tres respuestas justificando su elección.
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Ejercicio 1 · Opción álgebra lineal

1Opción álgebra lineal
2,5 puntos
PRIMEIRA PARTEÁlgebra lineal

Responda a una de las dos preguntas.

Halle todas las matrices A=(aij)A = (a_{ij}), cuadradas de orden tres, tales que a21=a32=0a_{21} = a_{32} = 0 y A+At=4IA + A^t = 4I, siendo II la matriz identidad de orden tres y AtA^t la matriz traspuesta de AA, de las que además se sabe que su determinante vale 1010.
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Ejercicio 1 · Opción análisis

1Opción análisis
2,5 puntos
PRIMEIRA PARTEAnálisis

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo integral para funciones continuas.
b)1,5 pts
Sea f:[−2,2]⊂R→Rf: [-2, 2] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continua en [−2,2][-2, 2] tal que ∫−2−1f(t)dt=∫12f(t)dt\int_{-2}^{-1} f(t) dt = \int_{1}^{2} f(t) dt. ¿Se puede asegurar que existen bb y cc en [−2,2][-2, 2] tales que b≤−1b \leq -1, c≥1c \geq 1 y f(b)=f(c)f(b) = f(c)? Justifique su respuesta.
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Ejercicio 1 · Opción geometría

1Opción geometría
2,5 puntos
PRIMEIRA PARTEGeometría

Responda a una de las dos preguntas.

Calcule la distancia entre las rectas:
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Ejercicio 2 · Opción 4.a

2Opción 4.a
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE4.a

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Explique BREVEMENTE el método de integración de funciones racionales P(x)/Q(x)P(x)/Q(x), en el caso de que el polinomio del denominador, Q(x)Q(x), tenga solo raíces reales.
b)1,5 pts
Calcule ∫2x−1x(x+1)2dx\int \frac{2x-1}{x(x+1)^2} dx.
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Ejercicio 2 · Opción 4.b

2Opción 4.b
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE4.b

Responda a una de las dos preguntas.

a)1,25 pts
¿La media de una variable aleatoria puede ser negativa? (a) Nunca (b) Siempre (c) Solo si las probabilidades son negativas (d) Ninguna de las anteriores. Escoja una de las anteriores respuestas y razone por qué las otras tres opciones no son correctas.
b)1,25 pts
Si XX es una variable aleatoria discreta de media mm, demuestre (empleando la definición de media) que la media de la variable aleatoria discreta YY, con Y=a+bXY = a + bX (para cualesquiera a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}), es a+bma + bm.
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Ejercicio 2 · Opción álgebra lineal

2Opción álgebra lineal
2,5 puntos
PRIMEIRA PARTEÁlgebra lineal

Responda a una de las dos preguntas.

Discuta e interprete geométricamente, según los diferentes valores del parámetro mm, el siguiente sistema:
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Ejercicio 2 · Opción análisis

2Opción análisis
2,5 puntos
PRIMEIRA PARTEAnálisis

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Enunciado de la Regla de L'Hopital.
b)1,5 pts
Calcule la relación entre aa y bb para que sea continua en toda la recta real la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)={eax−12xsi x≠0bsi x=0f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{2x} & \text{si } x \neq 0 \\ b & \text{si } x = 0 \end{cases}
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Ejercicio 2 · Opción geometría

2Opción geometría
2,5 puntos
PRIMEIRA PARTEGeometría

Responda a una de las dos preguntas.

Demuestre que los puntos P=(0,0,4)P = (0, 0, 4), Q=(3,3,3)Q = (3, 3, 3), R=(2,3,4)R = (2, 3, 4) y S=(3,0,1)S = (3, 0, 1) son coplanarios y determine el plano que los contiene.
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