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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2010

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro cuestiones de la opción elegida puntuará 2'5 puntos como máximo. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcule el límite:lim⁡x→0ex−x⋅cos⁡x−1sen⁡x−x+1−cos⁡x\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - x \cdot \cos x - 1}{\sen x - x + 1 - \cos x}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva F(x)F(x) de la función f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x} que cumpla F(0)=0F(0) = 0.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Defina el concepto de rango de una matriz.1 pt
b
Calcule el rango de la matrizA=(−11112−1−212)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}1 pt
c
Diga, razonadamente, si la segunda columna de la matriz A anterior es combinación lineal de las otras dos columnas.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Determine la relación que deben cumplir λ\lambda y μ\mu para que la distancia del punto P=(λ,1,μ)P = (\lambda, 1, \mu) al plano determinado por los puntos A=(1,1,1)A = (1, 1, 1), B=(1,0,0)B = (1, 0, 0) y C=(0,2,1)C = (0, 2, 1) sea igual a 1.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Defina la noción de mínimo relativo de una función.1 pt
b
Para cada xx sea h(x)h(x) la suma de las coordenadas del punto (x,f(x))(x, f(x)) de la gráfica de f(x)=x4+x3+x2−x+1f(x) = x^4 + x^3 + x^2 - x + 1. Calcule los extremos relativos de h(x)h(x).1 pt
c
¿Tiene h(x)h(x) algún extremo absoluto? Razone la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Represente, de forma aproximada, la curva y=x4+2x2+1y = x^4 + 2x^2 + 1 y la recta tangente a dicha curva en el punto Q0=(−1,4)Q_0 = (-1, 4).1,25 pts
b
Señale el recinto plano limitado por el eje OY y por la curva y la recta del apartado anterior, y calcule al área de dicho recinto.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Discuta, en función del parámetro bb, el sistema de ecuaciones:{bx+by=13x+bz=b−2−y+z=b−3\begin{cases} bx + by = 1 \\ 3x + bz = b - 2 \\ -y + z = b - 3 \end{cases}(no es necesario resolverlo en ningún caso).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados los puntos A=(1,1,1)A = (1, 1, 1), B=(1,0,0)B = (1, 0, 0) y C=(0,2,1)C = (0, 2, 1), sea rr la recta que pasa por AA y BB, y sea Π\Pi el plano que pasa por CC y es perpendicular a rr. Calcule el punto P0P_0 en el que se cortan rr y Π\Pi.
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