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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2018

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. 2. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Sean x,y,zx, y, z números reales. Consideremos las matricesA=(z2x1−y−zx+z−yz),B=(2−11),C=(−231)A = \begin{pmatrix} z & 2 & x \\ 1 & -y & -z \\ x + z & -y & z \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}
1
Escriba un sistema de ecuaciones en las incógnitas x,y,zx, y, z que resuelvan el problema matricial AB=CAB = C y calcule todas sus soluciones.2 pts
2
Si x=0,y=0x = 0, y = 0, calcule para qué valores de zz la matriz AA tiene rango 2.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Sea f(x)=x−1x2−7x+10f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 7x + 10}.
1
Calcule todas las primitivas de f(x)f(x).2,5 pts
2
Calcule el área encerrada por la gráfica de f(x)f(x) y las rectas y=0,x=3y = 0, x = 3 y x=4x = 4.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Tomemos la recta r:{x−y+z=12x−z=0r : \begin{cases} x - y + z = 1 \\ 2x - z = 0 \end{cases} y el plano Π:3x−y=2\Pi : 3x - y = 2.
1
Demuestre que rr y Π\Pi son paralelos.1 pt
2
Calcule una recta paralela a rr contenida en Π\Pi.1 pt
3
Calcule la distancia de rr a Π\Pi.1 pt
4
¿Cuál es el vector director de la recta s:x−23=y2=z+42s : \frac{x - 2}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z + 4}{2}?0,25 pts
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considere el sistema siguiente dependiente del parámetro b∈Rb \in \mathbb{R}(2b0−10b−102−110)(xyz)=(0110)\begin{pmatrix} 2 & b & 0 \\ -1 & 0 & b \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
1
Clasifique el tipo de sistema según el parámetro bb.2 pts
2
Calcule todas las soluciones del sistema en el caso b=−2b = -2.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Se quiere construir un cilindro de volumen 250π250\pi metros cúbicos y área mínima.
Datos
  • Volumen del cilindro: V=π⋅r2⋅hV = \pi \cdot r^2 \cdot h
  • área del cilindro: A=2π⋅r2+2π⋅r⋅hA = 2\pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot h
1
Exprese la altura hh del cilindro en función del radio rr de la base.0,5 pts
2
Calcule la función a(r)a(r) que expresa el área del cilindro en función del radio de la base.0,5 pts
3
Calcule el valor del radio y la altura que hacen el área mínima.2,5 pts
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Sean rr y ss las rectasr:{x=1y=2tz=−2+3t,t∈Rr: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2t \\ z = -2 + 3t \end{cases}, t \in \mathbb{R}s:x−13=y1=z+1−2s: \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-2}
1
Calcule la posición relativa de rr y ss.1,25 pts
2
Calcule la distancia entre rr y ss.1,5 pts
3
Calcule el plano perpendicular a ss que pasa por (0,1,0)(0, 1, 0).0,5 pts
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