Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2023Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2023

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen está distribuido en tres bloques, cada uno con 3 ejercicios. En total se debe contestar a 4 ejercicios, de dos maneras posibles: o bien se eligen dos bloques y se contesta a 2 de cada uno de ellos, o bien se contesta a 2 de un bloque y a 1 de cada bloque restante. Para evitar confusiones, se recomienda consignar claramente en la primera página de las hojas de respuestas a qué cuatro ejercicios se responde en el examen. Todos los ejercicios valen 2,5 puntos, y en la mayoría de ellos dicha puntuación se desglosa con más detalle. Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean ni programables ni gráficas, y que no calculen integrales. El tiempo disponible para responder a las preguntas es de una hora y media.

Ejercicio 1 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal

1Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Una pequeña empresa ha comprado, para regalar a sus clientes, cien botellas de vino tinto de tres clases y a tres precios distintos: las de vino joven cuestan 44 €, las de crianza 88 € y las de reserva 1212 €. Se ha gastado lo mismo en reserva que en las otras dos clases juntas. Además, si hubiera cambiado las botellas de reserva por botellas de crianza y viceversa se habría gastado en total 2020 € más.
i
¿Cuántas botellas ha comprado de cada clase?2 pts
ii
¿Cuánto ha gastado en total?0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1 · Bloque 2. Análisis

1Bloque 2. Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Definimos la funciónf(x)=x2+xx2+x−2 f(x) = \frac{x^2 + x}{x^2 + x - 2} en todos los valores reales xx en los que la expresión tiene sentido.
a
¿Cuál es entonces su dominio?0,25 pts
b
¿Qué asíntotas horizontales y verticales observaremos en la gráfica y=f(x)y = f(x)? Indica los límites de ff relevantes en cada una.0,75 pts
c
Dibuja dicha gráfica, señalando en la misma las asíntotas, los cortes con los ejes y también los extremos relativos de ff, que debes calcular previamente.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

1Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Un bombo de lotería tiene diez bolas, numeradas del 00 al 99. Realizamos dos extracciones consecutivas, sin reemplazar la primera bola. Sean los sucesos: A=A= "la primera bola es 00"; B=B= "la primera bola es 55"; C=C= "la segunda bola es mayor que la primera". Calcula entonces las probabilidades siguientes:
i
P(A)P(A)
ii
P(B)P(B)
iii
P(C)P(C)
iv
P(A∣C)P(A|C)
v
P(B∣C)P(B|C)
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal

2Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
SeanA=(31−6−2),B=(2103)yC=(1−111). A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -6 & -2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. Determina cuáles de las siguientes matrices tienen inversa, y si es el caso calcúlala:
i
AA
ii
BB
iii
CC
iv
ABCABC
v
BCBC
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Bloque 2. Análisis

2Bloque 2. Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Una función ff, definida en el intervalo [0,2][0, 2], tiene la gráfica siguiente:
Gráfica de la función f(x) en el intervalo [0, 2] mostrando dos picos triangulares de altura 1/2 en x=1/2 y x=3/2.
i
Expresa por intervalos el valor de f(x)f(x).1,75 pts
ii
Calcula los valores xx tales que f(x)=1/3f(x) = 1/3.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

2Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
La variable XX mide la estatura de los (y las) policías de Francia. Sigue una distribución normal con desviación típica 6,56{,}5 (en cm), de forma que el 11,507 %11{,}507\,\% de policías de Francia mide más de 183183 cm.
i
Calcula la media de la variable XX.1,75 pts
ii
Averigua la estatura que es superada por el 88,493 %88{,}493\,\% de policías en Francia.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal

3Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Necesitamos obtener al menos 8080 gramos de cobre, 6060 de zinc y 6060 de níquel, y sabemos hacerlo mediante dos técnicas distintas a partir de objetos desechados fabricados con alpaca. Usaremos la primera técnica durante un tiempo xx, y después usaremos la segunda durante un tiempo yy. Con la primera técnica podemos conseguir, en cada hora, 88 g de cobre, 33 g de zinc y 11 g de níquel. Con la segunda técnica obtenemos en una hora 44 g de cobre, 66 g de zinc y 1212 g de níquel. ¿Cuánto deben valer xx e yy para conseguir el objetivo en el menor tiempo posible?
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Bloque 2. Análisis

3Bloque 2. Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Sea f(x)=x3−3x+2f(x) = x^3 - 3x + 2.
i
Encuentra sus extremos relativos, y evalúa ff en dichos puntos.1 pt
ii
Halla el área de la región limitada por y=f(x)y = f(x), y=0y = 0, x=1x = 1 y x=−2x = -2, y haz un dibujo de dicha región.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

3Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Llamamos XX a la longitud de la cola de un ejemplar adulto de lémur barbado, especie recientemente descrita. Sigue una distribución normal cuya desviación típica tiene una valor asumido de 4,24{,}2 cm (por los estudios realizados en variedades similares), y para estimar su media μ\mu se ha tomado una muestra independiente de 2020 lémures. La media muestral resulta ser Xˉ=38,6\bar{X} = 38{,}6 cm.
i
Calcula un intervalo en el que situaríamos a μ\mu con el 95 %95\,\% de confianza.1,25 pts
ii
Si juzgamos excesivo el error muestral y queremos repetir la estimación con una muestra más numerosa, lo justo para que dicho error sea menor que 11 cm, ¿cuál debería ser el tamaño de dicha muestra?1,25 pts
Ver este ejercicio