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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2020

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que puede responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como quiera. Si responde a más preguntas de las permitidas, solo se corregirán las 5 primeras respondidas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Números y álgebra
Para la ecuación matricial A2X+AB=BA^2 X + AB = B, se pide:
a
Despejar XX suponiendo que AA (y por tanto A2A^2) es invertible, y decir cuáles serían las dimensiones de XX y de AA si AA tuviese dimensión 4×44 \times 4 y BB tuviese 3 columnas.
b
Resolvela en el caso en que A=(00−1010−103)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix} y B=(0010−1010−3)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Números y álgebra
Discuta, según los valores del parámetro mm, el siguiente sistema: {(m+3)x−m2y=3m(m+3)x+my=3m+6\begin{cases} (m + 3)x - m^2 y = 3m \\ (m + 3)x + my = 3m + 6 \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Análisis
Determine los valores de aa y bb que hacen que la función f(x)={a−cos⁡xxsi x<0bxsi x≥0f(x) = \begin{cases} \frac{a - \cos x}{x} & \text{si } x < 0 \\ bx & \text{si } x \geq 0 \end{cases} sea, primero continua, y luego derivable.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Análisis
a
Calcule el área de la región encerrada por el eje XX y la gráfica de f(x)={13x+1si x<0(x−1)2si x≥0f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}x + 1 & \text{si } x < 0 \\ (x - 1)^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
b
Calcule ∫xx2−1 dx\int x \sqrt{x^2 - 1} \, dx
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Geometría
Sean rr la recta de vector director d⃗r(1,0,3)\vec{d}_r(1, 0, 3) que pasa por P(1,0,0)P(1, 0, 0) y π:−2x+y+z=0\pi: -2x + y + z = 0. Se pide la posición relativa de rr y π\pi. En caso de que se corten, hallar el punto de corte.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Geometría
a
Calcule aa sabiendo que los vectores u⃗(2,0,0)\vec{u}(2, 0, 0), v⃗(0,a,1)\vec{v}(0, a, 1) y w⃗(2,2,2)\vec{w}(2, 2, 2) son coplanarios.
b
Obtenga la ecuación implícita del plano π\pi que pasa por P(1,0,0)P(1, 0, 0) y contiene a r:x−1=y−4=z+13r: x - 1 = \frac{y}{-4} = \frac{z + 1}{3}.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Estatística e probabilidade
El 57% de los estudiantes matriculados en la Universidad de Cambridge son naturales del Reino Unido y, de entre todos esos, el 83% aprueban con honores. Además, el porcentaje global de aprobados con honores es del 80%. Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no haya nacido en el Reino Unido sabiendo que aprobó con honores.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Estatística e probabilidade
a
En una determinada población de árboles, el 20% tienen más de 30 años. Si se eligen 40 árboles al azar, calcule la probabilidad de que solamente 4 de ellos tengan más de 30 años. El número total de árboles es tan grande que se puede asumir elección con reemplazo.
b
Si XX sigue una distribución normal de media 15 y P(X≤18)=0,6915P(X \leq 18) = 0{,}6915, ¿cuál es la desviación típica?
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