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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2011

4 ejercicios

Instrucciones

Se proponen dos opciones A y B. Hay que elegir una de las opciones y contestar a sus cuestiones. La puntuación está detallada en cada una de las cuestiones o en sus distintas partes. Se permite el uso de calculadoras, pero los resultados, tanto analíticos como gráficos, deberán estar debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la matriz A=(α10−α)A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ 0 & -\alpha \end{pmatrix}
a
Calcular el determinante de la matriz (AAT)(AA^T) con ATA^T la traspuesta de AA.0,75 pts
b
Estudiar para qué valores del parámetro α\alpha se satisface la ecuación 4∣A∣2−2∣AT∣+2α2=04|A|^2 - 2|A^T| + 2\alpha^2 = 0 con ∣A∣=det⁡(A)|A| = \det(A).0,75 pts
c
Obtener la inversa de AA cuando sea posible.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Para la función f(x)=2x+1x−1f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}
a
Estudiar su continuidad.1 pt
b
Razonar si g(x)=(x2−1)f(x)g(x) = (x^2 - 1)f(x) es una función derivable.0,75 pts
c
Calcular ∫23f(x)dx\int_{2}^{3} f(x) dx0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
En un campo hay plantados 50 manzanos. En este momento cada manzano produce 800 manzanas. Está estudiado que por cada manzano que se añade al campo, los manzanos producen 10 manzanas menos cada uno. Determinar el número de manzanos que se deben añadir para maximizar la producción de manzanas de dicho campo.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,1,1)A(1, 1, 1) y es perpendicular al vector v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = (1, -2, -1).0,75 pts
b
Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta rr que se obtiene como intersección de los planos {π1≡x−2y−z=0π2≡z−1=0\begin{cases} \pi_1 \equiv x - 2y - z = 0 \\ \pi_2 \equiv z - 1 = 0 \end{cases}1 pt
c
Estudiar si son linealmente independientes los vectores v⃗1(2,1,0)\vec{v}_1(2, 1, 0), v⃗2(0,−2,0)\vec{v}_2(0, -2, 0), v⃗3(0,1,1)\vec{v}_3(0, 1, 1).0,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Utilizar las propiedades de los determinantes para obtener los valores de aa y bb que satisfacen simultáneamente las ecuaciones ∣a+b12a−b01a+2b32∣=0y∣aaa2ba2∣=0\begin{vmatrix} a + b & 1 & 2 \\ a - b & 0 & 1 \\ a + 2b & 3 & 2 \end{vmatrix} = 0 \quad \text{y} \quad \begin{vmatrix} a & a \\ a^2 & ba^2 \end{vmatrix} = 0
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f(x)=x24−xf(x) = \frac{x^2}{4 - x}. Determinar:
a
Su dominio de definición.0,5 pts
b
Sus asíntotas.0,5 pts
c
Máximos y mínimos.0,75 pts
d
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Calcular lim⁡x→+∞cos⁡(x+1x2),\lim_{x \rightarrow +\infty} \cos \left(\frac{x + 1}{x^2}\right), lim⁡x→π41+sen⁡2x1−cos⁡4x,\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 + \sen 2x}{1 - \cos 4x}, lim⁡x→∞(x+4x−4)x,\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x + 4}{x - 4}\right)^x, lim⁡x→+01−1−xx.\lim_{x \rightarrow +0} \frac{1 - \sqrt{1 - x}}{x}.1,5 pts
b
Utilizar el cambio de variable t2=1+x2t^2 = 1 + x^2 para calcular ∫x31+x2dx\int \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}} dx1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Hallar el punto DD de la recta r≡{x=1+2ty=tz=1r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = 1 \end{cases} que esté a la misma distancia de los puntos C=(1,1,2)C = (1, 1, 2) y B=(1,1,2)B = (1, 1, 2). Razonar si la recta rr es perpendicular o no al plano π≡−x+2y+z=0\pi \equiv -x + 2y + z = 0.
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