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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2011

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Sea la matriz A=(α10−α)A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ 0 & -\alpha \end{pmatrix}
a)0,75 pts
Calcular el determinante de la matriz (AAT)(AA^T) con ATA^T la traspuesta de AA.
b)0,75 pts
Estudiar para qué valores del parámetro α\alpha se satisface la ecuación 4∣A∣2−2∣AT∣+2α2=04|A|^2 - 2|A^T| + 2\alpha^2 = 0 con ∣A∣=det⁡(A)|A| = \det(A).
c)1 pts
Obtener la inversa de AA cuando sea posible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Utilizar las propiedades de los determinantes para obtener los valores de aa y bb que satisfacen simultáneamente las ecuaciones ∣a+b12a−b01a+2b32∣=0y∣aaa2ba2∣=0\begin{vmatrix} a + b & 1 & 2 \\ a - b & 0 & 1 \\ a + 2b & 3 & 2 \end{vmatrix} = 0 \quad \text{y} \quad \begin{vmatrix} a & a \\ a^2 & ba^2 \end{vmatrix} = 0
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Para la función f(x)=2x+1x−1f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}
a)1 pts
Estudiar su continuidad.
b)0,75 pts
Razonar si g(x)=(x2−1)f(x)g(x) = (x^2 - 1)f(x) es una función derivable.
c)0,75 pts
Calcular ∫23f(x)dx\int_{2}^{3} f(x) dx
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Sea la función f(x)=x24−xf(x) = \frac{x^2}{4 - x}. Determinar:
a)0,5 pts
Su dominio de definición.
b)0,5 pts
Sus asíntotas.
c)0,75 pts
Máximos y mínimos.
d)0,75 pts
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
En un campo hay plantados 50 manzanos. En este momento cada manzano produce 800 manzanas. Está estudiado que por cada manzano que se añade al campo, los manzanos producen 10 manzanas menos cada uno. Determinar el número de manzanos que se deben añadir para maximizar la producción de manzanas de dicho campo.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
a)1,5 pts
Calcular lim⁡x→+∞cos⁡(x+1x2),\lim_{x \rightarrow +\infty} \cos \left(\frac{x + 1}{x^2}\right), lim⁡x→π41+sen⁡2x1−cos⁡4x,\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 + \sen 2x}{1 - \cos 4x}, lim⁡x→∞(x+4x−4)x,\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x + 4}{x - 4}\right)^x, lim⁡x→+01−1−xx.\lim_{x \rightarrow +0} \frac{1 - \sqrt{1 - x}}{x}.
b)1 pts
Utilizar el cambio de variable t2=1+x2t^2 = 1 + x^2 para calcular ∫x31+x2dx\int \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}} dx
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)0,75 pts
Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,1,1)A(1, 1, 1) y es perpendicular al vector v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = (1, -2, -1).
b)1 pts
Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta rr que se obtiene como intersección de los planos {π1≡x−2y−z=0π2≡z−1=0\begin{cases} \pi_1 \equiv x - 2y - z = 0 \\ \pi_2 \equiv z - 1 = 0 \end{cases}
c)0,75 pts
Estudiar si son linealmente independientes los vectores v⃗1(2,1,0)\vec{v}_1(2, 1, 0), v⃗2(0,−2,0)\vec{v}_2(0, -2, 0), v⃗3(0,1,1)\vec{v}_3(0, 1, 1).
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Hallar el punto DD de la recta r≡{x=1+2ty=tz=1r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = 1 \end{cases} que esté a la misma distancia de los puntos C=(1,1,2)C = (1, 1, 2) y B=(1,1,2)B = (1, 1, 2). Razonar si la recta rr es perpendicular o no al plano π≡−x+2y+z=0\pi \equiv -x + 2y + z = 0.
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