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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2021OrdinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Sea la función derivable f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)={ax+bx−1si x≤0ln⁡(1+x)si x>0f(x) = \begin{cases} \frac{ax + b}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\ \ln(1 + x) & \text{si } x > 0 \end{cases} (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
a
Determina aa y bb.1,5 pts
b
Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Halla aa, bb y cc sabiendo que la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x)=a+bsen⁡(x)+csen⁡(2x)f(x) = a + b \operatorname{sen}(x) + c \operatorname{sen}(2x) tiene un punto crítico en el punto de abscisa x=πx = \pi y la recta y=−12x+3y = -\frac{1}{2}x + 3 es normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Considera la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R} definida por f(x)=(ln⁡(x))2f(x) = (\ln(x))^2 (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
a
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff, así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1 pt
b
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función ff y las rectas y=0y = 0, x=1x = 1, x=ex = e.1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Calcula ∫0211+exdx\int_{0}^{2} \frac{1}{1 + \sqrt{e^x}} dx. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable t=ext = \sqrt{e^x}).
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones{x+y+2z=03x−y−2z=0−x+2y+mz=0\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 3x - y - 2z = 0 \\ -x + 2y + mz = 0 \end{cases}
a
Calcula mm para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas.1,5 pts
b
Para m=2m = 2, ¿existe alguna solución tal que z=1z = 1? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Considera la matriz A=(abcdef123)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, con determinante igual a 22.
a
Calcula razonadamente ∣13A−1At∣|\frac{1}{3} A^{-1} A^t|.0,5 pts
b
Calcula razonadamente los determinantes∣6c2b2a3fed921∣y∣2a−2bcb2d−2efe−232∣\begin{vmatrix} 6c & 2b & 2a \\ 3f & e & d \\ 9 & 2 & 1 \end{vmatrix} \quad \text{y} \quad \begin{vmatrix} 2a - 2b & c & b \\ 2d - 2e & f & e \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix}2 pts
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Considera las rectasr≡x1=y+22=z−11ys≡{x−y+z=23x−y−z=−4r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 3x - y - z = -4 \end{cases}Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas rr y ss, calcula su área.
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Considera las rectasr≡{x=1+λy=1+λz=2+mλys≡{x−y+2z=3x+z=2r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}
a
Estudia la posición relativa de rr y ss según los valores de mm.1,5 pts
b
Para m=1m = 1, calcula el coseno del ángulo que forman las rectas rr y ss.1 pt
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