Matemáticas II · Andalucía 2021

Sea la función derivable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \begin{cases} \frac{ax + b}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\ \ln(1 + x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Halla $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = a + b \operatorname{sen}(x) + c \operatorname{sen}(2x)$ tiene un punto crítico en el punto de abscisa $x = \pi$ y la recta $y = -\frac{1}{2}x + 3$ es normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Considera la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (\ln(x))^2$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Calcula $\int_{0}^{2} \frac{1}{1 + \sqrt{e^x}} dx$. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = \sqrt{e^x}$).

Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 3x - y - 2z = 0 \\ -x + 2y + mz = 0 \end{cases}$$

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$, con determinante igual a $2$.

Considera las rectas $$r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 3x - y - z = -4 \end{cases}$$ Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas $r$ y $s$, calcula su área.

Considera las rectas $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}$$