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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2012

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Un pintor dispone de dos tipos de pintura para realizar su trabajo. El primer tipo de pintura tiene un rendimiento de 3 m23\,\text{m}^2 por litro, con un coste de 11 € por litro. El segundo tipo de pintura tiene un rendimiento de 4 m24\,\text{m}^2 por litro, con un coste de 1,21{,}2 € por litro. Con ambos tipos de pintura se puede pintar a un ritmo de 11 litro cada 1010 minutos. El pintor dispone de un presupuesto de 480480 € y no puede pintar durante más de 7575 horas. Además, debe utilizar al menos 120120 litros de cada tipo de pintura. Determínese la cantidad de pintura que debe utilizar de cada tipo si su objetivo es pintar la máxima superficie posible. Indíquese cuál es esa superficie máxima.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente del parámetro real kk: {x+y+z=2x+ky+2z=5kx+y+z=1\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + ky + 2z = 5 \\ kx + y + z = 1 \end{cases}
a)1,5 pts
Discútase el sistema según los diferentes valores de kk.
b)0,75 pts
Resuélvase el sistema para k=0k = 0.
c)0,75 pts
Resuélvase el sistema para k=2k = 2.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3 puntos
Se considera la función real de variable real definida por: f(x)=x(2x−1)x−1f(x) = \frac{x(2x - 1)}{x - 1}
a)1 pts
Determínense las asíntotas de ff. Calcúlense los extremos relativos de ff.
b)1 pts
Represéntese gráficamente la función ff.
c)1 pts
Calcúlese ∫25f(x)x2dx\int_{2}^{5} \frac{f(x)}{x^2} dx.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
Se considera la función real de variable real definida por: f(x)={ax+bsi x≤1x3−x2+1si x>1f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{si } x \leq 1 \\ x^3 - x^2 + 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}
a)1 pts
Calcúlense los valores de aa y bb para los que la función ff es continua y derivable.
b)1 pts
Para a=0a = 0 y b=1b = 1, hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en los puntos en los que dicha tangente es paralela a la recta y−8x=1y - 8x = 1.
c)1 pts
Sea gg la función real de variable real definida por g(x)=1−2x2g(x) = 1 - 2x^2. Para a=1a = 1 y b=0b = 0, calcúlese el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de ff y la gráfica de gg.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Se dispone de cinco cajas opacas. Una contiene una bola blanca, dos contienen una bola negra y las otras dos están vacías. Un juego consiste en ir seleccionando al azar y secuencialmente una caja no seleccionada previamente hasta obtener una que contenga una bola. Si la bola de la caja seleccionada es blanca, el jugador gana; si es negra, el jugador pierde.
a)1 pts
Calcúlese la probabilidad de que el jugador gane.
b)1 pts
Si el jugador ha perdido, ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado una sola caja?
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Se consideran dos sucesos AA y BB tales que: P(A)=13P(B∣A)=14P(A∪B)=12P(A) = \frac{1}{3} \quad P(B | A) = \frac{1}{4} \quad P(A \cup B) = \frac{1}{2}
a)0,5 pts
Calcúlese razonadamente P(A∩B)P(A \cap B).
b)0,5 pts
Calcúlese razonadamente P(B)P(B).
c)0,5 pts
Calcúlese razonadamente P(B‾∣A)P(\overline{B} | A).
d)0,5 pts
Calcúlese razonadamente P(A‾∣B‾)P(\overline{A} | \overline{B}).
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
La duración en kilómetros de los neumáticos de una cierta marca se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu desconocida y desviación típica igual a 30003000 kilómetros.
a)1 pts
Se toma una muestra aleatoria simple de 100100 neumáticos y se obtiene una media muestral de 4800048000 kilómetros. Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 90%90\% para μ\mu.
b)1 pts
Calcúlese el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y μ\mu sea menor o igual a 10001000 kilómetros con probabilidad mayor o igual que 0,950{,}95.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
El tiempo de espera para ser atendido en un cierto establecimiento se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu desconocida y desviación típica igual a 33 minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 121121.
a)1 pts
Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y μ\mu sea mayor que 0,50{,}5 minutos.
b)1 pts
Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 95%95\% para μ\mu, si la media de la muestra es igual a 77 minutos.
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