Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2018

4 ejercicios

Instrucciones

Responde solo los ejercicios de una de las dos opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 2 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 3 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matriz A=(00−1−1000−10)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
a
¿Qué relación existe entre su inversa A−1A^{-1} y su traspuesta AtA^t?
b
Estudia, según los valores de λ\lambda, el rango de A−λIA - \lambda I, siendo II la matriz identidad de orden 3. Calcula las matrices XX que verifican AX+X=(000)AX + X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Enuncia el teorema de Rolle. Calcula aa, bb y cc para que la función f(x)={2x2+axsi x<1bx+csi x≥1f(x) = \begin{cases} 2x^2 + ax & \text{si } x < 1 \\ bx + c & \text{si } x \geq 1 \end{cases} cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,2][0, 2] y calcula el punto en el que se cumple el teorema.
b
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y=x2−2xy = x^2 - 2x y la recta y=xy = x. (Para el dibujo de la parábola, indica: puntos de corte con los ejes de coordenadas, el vértice y concavidad o convexidad).
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
3 puntos
Dada la recta r:{x+y+z−2=0x−y+z−2=0r: \begin{cases} x + y + z - 2 = 0 \\ x - y + z - 2 = 0 \end{cases}
a
Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por el punto A(1,1,1)A(1, 1, 1) y es perpendicular a rr.
b
Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por los puntos P(−1,0,6)P(-1, 0, 6) y Q(3,−2,4)Q(3, -2, 4) y es paralelo a la recta rr.
c
Calcula la distancia de la recta rr al plano x+y+z−5=0x + y + z - 5 = 0.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
En un bombo tenemos 10 bolas idénticas numeradas del 0 al 9 y cada vez que hacemos una extracción devolvemos la bola al bombo.
a
Si hacemos 5 extracciones, calcula la probabilidad de que el 7 salga menos de dos veces.
b
Si hacemos 100 extracciones, calcula la probabilidad de que el 7 salga menos de nueve veces.
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
2 puntos
a
Discute, según los valores del parámetro mm, el sistema de ecuaciones: {x+2y−z=1x−z=mx+y−z=1\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ x - z = m \\ x + y - z = 1 \end{cases}
b
Resuélvelo, si es posible, cuando m=1m = 1.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Calcula, si existe, el valor de mm para que lim⁡x→0cos⁡2x+mx2−1sen⁡(x2)=3\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x + mx^2 - 1}{\sen(x^2)} = 3.
b
Calcula los valores de a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R} para que la función f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d tenga un punto de inflexión en el punto (0,5)(0, 5) y la tangente a su gráfica en el punto (1,1)(1, 1) sea paralela al eje xx.
c
Calcula ∫1exln⁡x dx\int_{1}^{e} \sqrt{x} \ln x \, dx. (Nota: ln⁡=logaritmo neperiano\ln = \text{logaritmo neperiano})
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea rr la recta que pasa por los puntos P(9,4,1)P(9, 4, 1) y Q(1,1,1)Q(1, 1, 1). Dada la recta s:x−12=y1=z−5−1s: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 5}{-1}
a
Estudia la posición relativa de las rectas rr y ss. Calcula, si se cortan, el punto de corte.
b
Calcula, si existe, la ecuación implícita o general del plano que contiene las rectas rr y ss.
c
Calcula la distancia del punto O(0,0,0)O(0, 0, 0) a la recta ss.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
En una fábrica hay tres máquinas A, B y C que producen la misma cantidad de piezas. La máquina A produce un 2% de piezas defectuosas, la B un 4% y la C un 5%.
a
Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.
b
Si se elige una pieza al azar y resulta que no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que fuera fabricada por la máquina A?
Ver este ejercicio