Matemáticas II · Galicia 2018

¿Qué relación existe entre su inversa $A^{-1}$ y su traspuesta $A^t$?

Estudia, según los valores de $\lambda$, el rango de $A - \lambda I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3. Calcula las matrices $X$ que verifican $AX + X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Discute, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones: $\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ x - z = m \\ x + y - z = 1 \end{cases}$

Resuélvelo, si es posible, cuando $m = 1$.

Enuncia el teorema de Rolle. Calcula $a$, $b$ y $c$ para que la función $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + ax & \text{si } x < 1 \\ bx + c & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$ cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0, 2]$ y calcula el punto en el que se cumple el teorema.

Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola $y = x^2 - 2x$ y la recta $y = x$. (Para el dibujo de la parábola, indica: puntos de corte con los ejes de coordenadas, el vértice y concavidad o convexidad).

Calcula, si existe, el valor de $m$ para que $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x + mx^2 - 1}{\sen(x^2)} = 3$.

Calcula los valores de $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tenga un punto de inflexión en el punto $(0, 5)$ y la tangente a su gráfica en el punto $(1, 1)$ sea paralela al eje $x$.

Calcula $\int_{1}^{e} \sqrt{x} \ln x \, dx$. (Nota: $\ln = \text{logaritmo neperiano}$)

Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por el punto $A(1, 1, 1)$ y es perpendicular a $r$.

Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por los puntos $P(-1, 0, 6)$ y $Q(3, -2, 4)$ y es paralelo a la recta $r$.

Calcula la distancia de la recta $r$ al plano $x + y + z - 5 = 0$.

Estudia la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. Calcula, si se cortan, el punto de corte.

Calcula, si existe, la ecuación implícita o general del plano que contiene las rectas $r$ y $s$.

Calcula la distancia del punto $O(0, 0, 0)$ a la recta $s$.

Si hacemos 5 extracciones, calcula la probabilidad de que el 7 salga menos de dos veces.

Si hacemos 100 extracciones, calcula la probabilidad de que el 7 salga menos de nueve veces.

Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.

Si se elige una pieza al azar y resulta que no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que fuera fabricada por la máquina A?