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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2025

7 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Apartado 1A+D

Resuelva una de las siguientes tareas (1A o 1B).

Considera las matrices: A=(−11121a)yB=(1a0302),con a∈R. A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & a \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad \text{con } a \in \mathbb{R}.
a)0,75 pts
Estudia el rango de AA, en función de los valores de aa.
b)0,75 pts
Estudia el rango de BB, en función de los valores de aa.
c)1 pts
Considera a=1a = 1. Calcula, si es posible, la matriz XX que satisface la siguiente ecuación matricial: BAX=(37)BAX = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Apartado 1A+D

Resuelva una de las siguientes tareas (1A o 1B).

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: {ax+y+z=4(a−1)x−3z=2y+(a2+a+1)z=0 \begin{cases} ax + y + z = 4 \\ (a - 1)x - 3z = 2 \\ y + (a^2 + a + 1)z = 0 \end{cases} dependiente del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}
a)1,5 pts
Determina los valores de aa para los cuales el sistema es compatible.
b)0,5 pts
Considera a=−1a = -1. Si el sistema es compatible, halla su solución general.
c)0,5 pts
Considera a=2a = 2. Si el sistema es compatible, halla su solución general.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Apartado 2B

Resuelva una de las siguientes cuestiones (2A o 2B).

Considera la siguiente función: f(x)=e−2x(x2−3x+32)f(x) = e^{-2x} \left( x^2 - 3x + \frac{3}{2} \right)
a)1 pts
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x)
b)0,75 pts
Determina, si existen, los puntos de inflexión de f(x)f(x).
c)0,75 pts
Si existen, halla las asíntotas horizontales de f(x)f(x)
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Apartado 2B

Resuelva una de las siguientes cuestiones (2A o 2B).

Considera las siguiente funciones: f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x y g(x)=1−x2g(x) = 1 - x^2.
a)0,5 pts
Determina los puntos de corte de f(x)f(x) con el eje de abscisas OX.
b)0,5 pts
Determina los puntos de corte de f(x)f(x) con g(x)g(x).
c)1,5 pts
Calcula el área delimitada por f(x)f(x), g(x)g(x) y las rectas x=−1x = -1 y x=1x = 1
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Apartado 3C
Considera la recta r:{x−2z−2=0y+z=3r: \begin{cases} x - 2z - 2 = 0 \\ y + z = 3 \end{cases} y el punto P=(−3,2,2)P = (-3, 2, 2).
a)0,5 pts
Expresa la recta rr en forma continua.
b)1 pts
Halla la ecuación del plano perpendicular a rr que pasa por PP.
c)1 pts
Calcula la distancia entre rr y PP.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Apartado 4E

Resuelva una de las siguientes cuestiones (4A o 4B).

Se tienen dos urnas con bolas rojas y bolas verdes. En la urna A hay un total de 3 bolas rojas y 2 bolas verdes. En la urna B hay un total de 4 bolas verdes y 2 bolas rojas.
a)0,5 pts
Si se sacan al azar dos bolas de la urna A, a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que sean dos bolas rojas?
b)0,5 pts
Si se saca una sola bola de una urna elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?
c)1,5 pts
Si se saca una bola verde de una urna escogida al azar, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido la urna A?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Apartado 4E

Resuelva una de las siguientes cuestiones (4A o 4B).

En una población, el 85% de las personas son rubias. Además, su altura se distribuye según una distribución normal de media 170 cm170\,\text{cm} y desviación típica de 16 cm16\,\text{cm}.
Gráfico de la distribución normal estándar con el área sombreada hasta un valor z0.
Gráfico de la distribución normal estándar con el área sombreada hasta un valor z0.
a)0,5 pts
Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar mida más de 190 cm190\,\text{cm}.
b)1 pts
Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar mida entre 160160 y 190 cm190\,\text{cm}.
c)1 pts
Sabiendo que solo el 12% de las personas rubias de la población mide más de 190 cm190\,\text{cm}, calcula la probabilidad de que, escogiendo a una persona al azar, esta sea rubia y mida más de 190 cm190\,\text{cm}.
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