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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2015

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Dada la matriz A=(m+200−3m+1110m−1)A = \begin{pmatrix} m + 2 & 0 & 0 \\ - 3 & m + 1 & 1 \\ 1 & 0 & m - 1 \end{pmatrix}, se pide:
a)1,25 pts
Hallar los valores de mm para que la matriz A10A^{10} tenga inversa.
b)1,25 pts
Para m=0m = 0, calcular, si es posible, la matriz inversa de AA.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales {x+my=−1(1−2m)x−y=m\begin{cases} x + my = -1 \\ (1 - 2m)x - y = m \end{cases}, se pide:
a)1,25 pts
Discutir el sistema según los valores del parámetro mm.
b)0,75 pts
Resolver el sistema en los casos en que la solución no sea única.
c)0,5 pts
Calcular los valores de mm para que x=−3,y=2x = -3, y = 2 sea solución.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
a)1,25 pts
Calcular la recta que corta perpendicularmente al eje OZOZ y que pasa por el punto P=(1,2,3)P = (1, 2, 3).
b)1,25 pts
Estudiar, en función del parámetro aa, la posición relativa de la recta r≡{x=0y=0r \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} y el plano π≡x+y+az=1\pi \equiv x + y + az = 1.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
¿Puede haber dos vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} de R3\mathbb{R}^3 tales que u⃗⋅v⃗=−3\vec{u} \cdot \vec{v} = -3, ∣u⃗∣=1|\vec{u}| = 1 y ∣v⃗∣=2|\vec{v}| = 2?
b)1,5 pts
Hallar el valor de aa para que exista una recta que pase por el punto P=(1+a,1−a,a)P = (1 + a, 1 - a, a), corte a la recta r≡{x+y=2z=1r \equiv \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases} y sea paralela a la recta s≡{x+z=0y=0s \equiv \begin{cases} x + z = 0 \\ y = 0 \end{cases}.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Determinar los vértices del rectángulo de área máxima que tiene lados paralelos a los ejes de coordenadas y vértices en el borde del recinto delimitado por las gráficas de las funciones f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=2−x2g(x) = 2 - x^2.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dada la función f(x)=xln⁡xf(x) = \frac{x}{\ln x}, determinar su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)1 pts
Sea g(x)g(x) una función continua y derivable en toda la recta real tal que g(0)=0g(0) = 0 y g(2)=2g(2) = 2. Probar que existe algún punto cc del intervalo (0,2)(0, 2) tal que g′(c)=1g'(c) = 1.
b)1,5 pts
Hallar la función f(x)f(x) que cumple f′(x)=xln⁡(x2+1)f'(x) = x \ln(x^2 + 1) y f(0)=1f(0) = 1.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Calcular lim⁡x→0(1x−1ln⁡(1+x))\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\ln(1 + x)} \right).
b)1,5 pts
Calcular el área del recinto delimitado por las gráficas de las funciones f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}, g(x)=1x2g(x) = \frac{1}{x^2} y la recta x=ex = e.
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