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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la matriz A=(m+200−3m+1110m−1)A = \begin{pmatrix} m + 2 & 0 & 0 \\ - 3 & m + 1 & 1 \\ 1 & 0 & m - 1 \end{pmatrix}, se pide:
a
Hallar los valores de mm para que la matriz A10A^{10} tenga inversa.1,25 pts
b
Para m=0m = 0, calcular, si es posible, la matriz inversa de AA.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcular la recta que corta perpendicularmente al eje OZOZ y que pasa por el punto P=(1,2,3)P = (1, 2, 3).1,25 pts
b
Estudiar, en función del parámetro aa, la posición relativa de la recta r≡{x=0y=0r \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} y el plano π≡x+y+az=1\pi \equiv x + y + az = 1.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Determinar los vértices del rectángulo de área máxima que tiene lados paralelos a los ejes de coordenadas y vértices en el borde del recinto delimitado por las gráficas de las funciones f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=2−x2g(x) = 2 - x^2.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Sea g(x)g(x) una función continua y derivable en toda la recta real tal que g(0)=0g(0) = 0 y g(2)=2g(2) = 2. Probar que existe algún punto cc del intervalo (0,2)(0, 2) tal que g′(c)=1g'(c) = 1.1 pt
b
Hallar la función f(x)f(x) que cumple f′(x)=xln⁡(x2+1)f'(x) = x \ln(x^2 + 1) y f(0)=1f(0) = 1.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales {x+my=−1(1−2m)x−y=m\begin{cases} x + my = -1 \\ (1 - 2m)x - y = m \end{cases}, se pide:
a
Discutir el sistema según los valores del parámetro mm.1,25 pts
b
Resolver el sistema en los casos en que la solución no sea única.0,75 pts
c
Calcular los valores de mm para que x=−3,y=2x = -3, y = 2 sea solución.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
¿Puede haber dos vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} de R3\mathbb{R}^3 tales que u⃗⋅v⃗=−3\vec{u} \cdot \vec{v} = -3, ∣u⃗∣=1|\vec{u}| = 1 y ∣v⃗∣=2|\vec{v}| = 2?1 pt
b
Hallar el valor de aa para que exista una recta que pase por el punto P=(1+a,1−a,a)P = (1 + a, 1 - a, a), corte a la recta r≡{x+y=2z=1r \equiv \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases} y sea paralela a la recta s≡{x+z=0y=0s \equiv \begin{cases} x + z = 0 \\ y = 0 \end{cases}.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)=xln⁡xf(x) = \frac{x}{\ln x}, determinar su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcular lim⁡x→0(1x−1ln⁡(1+x))\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\ln(1 + x)} \right).1 pt
b
Calcular el área del recinto delimitado por las gráficas de las funciones f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}, g(x)=1x2g(x) = \frac{1}{x^2} y la recta x=ex = e.1,5 pts
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