Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2011

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Determina el valor del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}, para que la función f(x)=(x−a)exf(x) = (x - a)e^x tenga un mínimo relativo en x=0x = 0. Razona que, de hecho, es un mínimo absoluto.1,25 pts
b
Para el valor de aa obtenido, calcula los puntos de inflexión de la función f(x)f(x).1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula la integral ∫x2−3x+1x3−5x2+8x−4dx\int \frac{x^2 - 3x + 1}{x^3 - 5x^2 + 8x - 4} dx
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(1−1023k14k05k1)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & k \\ 1 & 4 & k \\ 0 & 5k & 1 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} y O=(0000)O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} se pide:
a
Calcula en función del parámetro k∈Rk \in \mathbb{R} el rango de la matriz AA.1 pt
b
¿Existe algún valor de k∈Rk \in \mathbb{R} para el cual el sistema A⋅X=OA \cdot X = O sea incompatible?0,75 pts
c
¿Para qué valores de k∈Rk \in \mathbb{R} el sistema A⋅X=OA \cdot X = O es compatible indeterminado?0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dadas las rectas r≡{x−y=1y+z=1r \equiv \begin{cases} x - y = 1 \\ y + z = 1 \end{cases} y s≡{x=ty=1−tz=t,t∈Rs \equiv \begin{cases} x = t \\ y = 1 - t \\ z = t \end{cases}, \quad\allowbreak t \in \mathbb{R}, se pide:
a
Determina su posición relativa.1,25 pts
b
Halla el ángulo que forman sus vectores de dirección.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Enuncia el teorema de Bolzano y el teorema de Rolle.1 pt
b
Demuestra que la ecuación ex+x7=0e^x + x^7 = 0 tiene al menos una solución real.0,75 pts
c
Demuestra que, de hecho, dicha solución es única.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean las funciones f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=ag(x) = a, con a∈R,a>0a \in \mathbb{R}, a > 0. Calcula el valor del parámetro aa para que el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x) sea 323\frac{32}{3}.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Clasifica, en función del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R}, el sistema de ecuaciones {x−y+z=12x−3y=−1x+2y+mz=m+3\begin{cases} x - y + z = 1 \\ 2x - 3y = -1 \\ x + 2y + mz = m + 3 \end{cases}1,5 pts
b
Resuélvelo, si es posible, para m=7m = 7.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Consideremos el plano π≡x−ky=0\pi \equiv x - ky = 0, y la recta r≡{x+y−z=3x−y=1r \equiv \begin{cases} x + y - z = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}
a
Halla el valor del parámetro k∈Rk \in \mathbb{R} para que el plano π\pi y la recta rr sean paralelos.1,5 pts
b
Para el valor de kk obtenido, calcula la distancia desde la recta rr al plano π\pi.1 pt
Ver este ejercicio