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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2018

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. a) Responde solo a una de las dos opciones (OPCIÓN A/ OPCIÓN B). b) No está permitido el uso de calculadoras gráficas o programables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Parte A1
Sea f(x)=3x4+4x3−12x2−32f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 - 32.
a
Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función dada.1 pt
b
Determina los extremos relativos de la función.0,5 pts
c
Calcula lim⁡x→2f(x)x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x - 2}.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Parte A1
La imagen que aparece a continuación muestra la región factible asociada con el conjunto de restricciones de un cierto problema de optimización.
Región factible poligonal con vértices en (0,3), (2,5), (5,2), (4,1) y (2,2).
a
Determina el citado conjunto de restricciones.1 pt
b
Maximiza la función f(x,y)=5y−x+12f(x, y) = 5y - x + 12 en la región factible.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Parte A1
En un determinado hospital, el tiempo de espera para una intervención en el servicio de cirugía vascular sigue una distribución normal con una desviación típica de 15 días.
a
Al analizar el tiempo esperado por 100 pacientes atendidos en el servicio se obtuvo que la espera media fue de 43 días. Obtener un intervalo de confianza al 85% para la media del tiempo de espera en cirugía vascular.1 pt
b
Tomando la muestra del apartado anterior, determinar el nivel de confianza que daría lugar a (41,45) como intervalo de confianza para la media del tiempo de espera.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte A2.

Consideramos las funciones f(x)=x(x2−3)yg(x)=−x(x2−5).f(x) = x(x^2 - 3) \quad \text{y} \quad g(x) = -x(x^2 - 5).
a
Determinar el área de la región limitada por las curvas y=f(x)y = f(x) e y=g(x)y = g(x). Dicha región aparece en amarillo en la siguiente figura.1 pt
Gráfica de las funciones f(x) y g(x) mostrando dos regiones encerradas simétricas respecto al origen.
b
¿En qué puntos de la curva y=f(x)y = f(x) la recta tangente es paralela a la recta y=9x+2018y = 9x + 2018? Determina la recta tangente en los puntos obtenidos.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte A2.

Consideramos el sistema de ecuaciones {−2(a−1)x−y+2z=4x+ay+z=22x+y+2(a+1)z=4\begin{cases} -2(a - 1)x - y + 2z = 4 \\ x + ay + z = 2 \\ 2x + y + 2(a + 1)z = 4 \end{cases} donde aa es un parámetro real.
a
¿Para qué valores del parámetro aa el sistema es compatible y determinado?1 pt
b
Resuelve el sistema para a=0a = 0. ¿Es posible resolver el sistema para a=1a = 1?1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte A2.

Durante las fiestas de San Bernabé del pasado año, seis de cada diez personas que acudieron a la degustación del pan, el pez y el vino adquirieron la tradicional jarra de barro para tomar el vino. Una de cada cuatro personas que adquirió la jarra no consumió vino y cuatro de cada cinco personas que no la compraron tampoco lo tomaron.
a
Calcula el porcentaje de personas que bebieron vino en la degustación.1 pt
b
Un amigo mío no tomó vino el año pasado, ¿cuál es la probabilidad de que mi amigo comprase la jarra?1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Parte B1
Sea f(x)=3x4+4x3−12x2−32f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 - 32.
a
Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función dada.1 pt
b
Determina los extremos relativos de la función.0,5 pts
c
Calcula lim⁡x→2f(x)x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x - 2}.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Parte B1
La imagen que aparece a continuación muestra la región factible asociada con el conjunto de restricciones de un cierto problema de optimización.
Región factible poligonal idéntica a la de la Opción A.
a
Determina el citado conjunto de restricciones.1 pt
b
Maximiza la función f(x,y)=5y−x+12f(x, y) = 5y - x + 12 en la región factible.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Parte B1
En un determinado hospital, el tiempo de espera para una intervención en el servicio de cirugía vascular sigue una distribución normal con una desviación típica de 15 días.
a
Al analizar el tiempo esperado por 100 pacientes atendidos en el servicio se obtuvo que la espera media fue de 43 días. Obtener un intervalo de confianza al 85% para la media del tiempo de espera en cirugía vascular.1 pt
b
Tomando la muestra del apartado anterior, determinar el nivel de confianza que daría lugar a (41,45) como intervalo de confianza para la media del tiempo de espera.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte B2.

Sea f(x)=x4−2x2+x+1f(x) = x^4 - 2x^2 + x + 1.
a
¿En qué puntos de la curva y=f(x)y = f(x) la recta tangente es paralela a la recta y=x+2018y = x + 2018?1 pt
b
Determinar el área de la región limitada por las curvas y=f(x)y = f(x) e y=x4y = x^4. (La región cuya área se solicita aparece representada en la figura adjunta.)1 pt
Región sombreada en amarillo entre las curvas y = x^4 - 2x^2 + x + 1 e y = x^4.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte B2.

Consideremos la matriz A=(3a−7−663a+6).A = \begin{pmatrix} 3a - 7 & -6 \\ 6 & 3a + 6 \end{pmatrix}.
Datos
  • AtA^t indica la matriz traspuesta de la matriz AA
  • I2I_2 la matriz identidad de orden dos
a
Determinar los valores de aa para los que existe la matriz inversa A−1A^{-1}.1 pt
b
Tomando a=1/3a = 1/3, determinar una matriz XX tal que A⋅X+6⋅I2=A3+A⋅AtA \cdot X + 6 \cdot I_2 = A^3 + A \cdot A^t.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte B2.

En una caja tenemos inicialmente una bola negra y otra roja. Cada vez que extraemos una bola, introducimos tres bolas del color de la extraída. Sacamos una primera bola y procedemos a hacer la reposición, sacamos una segunda bola y reponemos y sacamos una tercera bola.
a
Determinar la probabilidad de que en las tres extracciones hayamos sacado bolas del mismo color.1 pt
b
Determinar la probabilidad de que en las tres extracciones hayamos sacado dos bolas del mismo color y otra de color distinto.1 pt
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