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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2018

12 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Parte A1
Sea f(x)=3x4+4x3−12x2−32f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 - 32.
a)1 pts
Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función dada.
b)0,5 pts
Determina los extremos relativos de la función.
c)0,5 pts
Calcula lim⁡x→2f(x)x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x - 2}.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Parte B1
Sea f(x)=3x4+4x3−12x2−32f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 - 32.
a)1 pts
Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función dada.
b)0,5 pts
Determina los extremos relativos de la función.
c)0,5 pts
Calcula lim⁡x→2f(x)x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x - 2}.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Parte A1
La imagen que aparece a continuación muestra la región factible asociada con el conjunto de restricciones de un cierto problema de optimización.
Región factible poligonal con vértices en (0,3), (2,5), (5,2), (4,1) y (2,2).
Región factible poligonal con vértices en (0,3), (2,5), (5,2), (4,1) y (2,2).
a)1 pts
Determina el citado conjunto de restricciones.
b)1 pts
Maximiza la función f(x,y)=5y−x+12f(x, y) = 5y - x + 12 en la región factible.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Parte B1
La imagen que aparece a continuación muestra la región factible asociada con el conjunto de restricciones de un cierto problema de optimización.
Región factible poligonal idéntica a la de la Opción A.
Región factible poligonal idéntica a la de la Opción A.
a)1 pts
Determina el citado conjunto de restricciones.
b)1 pts
Maximiza la función f(x,y)=5y−x+12f(x, y) = 5y - x + 12 en la región factible.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Parte A1
En un determinado hospital, el tiempo de espera para una intervención en el servicio de cirugía vascular sigue una distribución normal con una desviación típica de 15 días.
a)1 pts
Al analizar el tiempo esperado por 100 pacientes atendidos en el servicio se obtuvo que la espera media fue de 43 días. Obtener un intervalo de confianza al 85% para la media del tiempo de espera en cirugía vascular.
b)1 pts
Tomando la muestra del apartado anterior, determinar el nivel de confianza que daría lugar a (41,45) como intervalo de confianza para la media del tiempo de espera.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Parte B1
En un determinado hospital, el tiempo de espera para una intervención en el servicio de cirugía vascular sigue una distribución normal con una desviación típica de 15 días.
a)1 pts
Al analizar el tiempo esperado por 100 pacientes atendidos en el servicio se obtuvo que la espera media fue de 43 días. Obtener un intervalo de confianza al 85% para la media del tiempo de espera en cirugía vascular.
b)1 pts
Tomando la muestra del apartado anterior, determinar el nivel de confianza que daría lugar a (41,45) como intervalo de confianza para la media del tiempo de espera.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte A2.

Consideramos las funciones f(x)=x(x2−3)yg(x)=−x(x2−5).f(x) = x(x^2 - 3) \quad \text{y} \quad g(x) = -x(x^2 - 5).
a)1 pts
Determinar el área de la región limitada por las curvas y=f(x)y = f(x) e y=g(x)y = g(x). Dicha región aparece en amarillo en la siguiente figura.
Gráfica de las funciones f(x) y g(x) mostrando dos regiones encerradas simétricas respecto al origen.
Gráfica de las funciones f(x) y g(x) mostrando dos regiones encerradas simétricas respecto al origen.
b)1 pts
¿En qué puntos de la curva y=f(x)y = f(x) la recta tangente es paralela a la recta y=9x+2018y = 9x + 2018? Determina la recta tangente en los puntos obtenidos.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte B2.

Sea f(x)=x4−2x2+x+1f(x) = x^4 - 2x^2 + x + 1.
a)1 pts
¿En qué puntos de la curva y=f(x)y = f(x) la recta tangente es paralela a la recta y=x+2018y = x + 2018?
b)1 pts
Determinar el área de la región limitada por las curvas y=f(x)y = f(x) e y=x4y = x^4. (La región cuya área se solicita aparece representada en la figura adjunta.)
Región sombreada en amarillo entre las curvas y = x^4 - 2x^2 + x + 1 e y = x^4.
Región sombreada en amarillo entre las curvas y = x^4 - 2x^2 + x + 1 e y = x^4.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte A2.

Consideramos el sistema de ecuaciones {−2(a−1)x−y+2z=4x+ay+z=22x+y+2(a+1)z=4\begin{cases} -2(a - 1)x - y + 2z = 4 \\ x + ay + z = 2 \\ 2x + y + 2(a + 1)z = 4 \end{cases} donde aa es un parámetro real.
a)1 pts
¿Para qué valores del parámetro aa el sistema es compatible y determinado?
b)1 pts
Resuelve el sistema para a=0a = 0. ¿Es posible resolver el sistema para a=1a = 1?
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte B2.

Consideremos la matriz A=(3a−7−663a+6).A = \begin{pmatrix} 3a - 7 & -6 \\ 6 & 3a + 6 \end{pmatrix}.
a)1 pts
Determinar los valores de aa para los que existe la matriz inversa A−1A^{-1}.
b)1 pts
Tomando a=1/3a = 1/3, determinar una matriz XX tal que A⋅X+6⋅I2=A3+A⋅AtA \cdot X + 6 \cdot I_2 = A^3 + A \cdot A^t.
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte A2.

Durante las fiestas de San Bernabé del pasado año, seis de cada diez personas que acudieron a la degustación del pan, el pez y el vino adquirieron la tradicional jarra de barro para tomar el vino. Una de cada cuatro personas que adquirió la jarra no consumió vino y cuatro de cada cinco personas que no la compraron tampoco lo tomaron.
a)1 pts
Calcula el porcentaje de personas que bebieron vino en la degustación.
b)1 pts
Un amigo mío no tomó vino el año pasado, ¿cuál es la probabilidad de que mi amigo comprase la jarra?
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte B2.

En una caja tenemos inicialmente una bola negra y otra roja. Cada vez que extraemos una bola, introducimos tres bolas del color de la extraída. Sacamos una primera bola y procedemos a hacer la reposición, sacamos una segunda bola y reponemos y sacamos una tercera bola.
a)1 pts
Determinar la probabilidad de que en las tres extracciones hayamos sacado bolas del mismo color.
b)1 pts
Determinar la probabilidad de que en las tres extracciones hayamos sacado dos bolas del mismo color y otra de color distinto.
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