Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2022

6 ejercicios

Instrucciones

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l'ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sigui f'(x) = 3x² − 12x la derivada d'una funció f(x).
a
Si sabem que f(x) talla l'eix de les abscisses en x = 1, calculeu l'expressió de la funció f(x).0,75 pts
b
Calculeu l'abscissa del punt d'inflexió de f(x) i estudieu la concavitat de la funció.0,75 pts
c
Sabem que l'àrea del recinte limitat per la corba y = f''(x), l'eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = a, amb a > 2, és 15u². Calculeu el valor de a.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a: {ax + 2y + 3z = 2; 2x + ay + z = a; x + y + 4z = 1}.
a
Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a.1,5 pts
b
Resoleu, si és possible, el sistema per al cas a = 2.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sigui la recta r definida per l'expressió següent: r: {x = 2 + λ; y = −1 + 3λ; z = 3 + λ}.
a
Determineu la posició relativa de la recta r respecte al pla π: x − 2y + 4z − 4 = 0. Si és paral·lela, calculeu la distància de r a π, i si és secant, calculeu el punt de tall.1,25 pts
b
Calculeu l'equació de la recta s perpendicular al pla π i que talla la recta r en un punt P, la primera coordenada del qual és 5 vegades més gran que la segona.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Trobeu una funció polinòmica y = g(x) de grau 3 tal que talli l'eix de les ordenades en el punt (0, 5), que la recta tangent a y = g(x) en el punt d'abscissa x = 1 sigui horitzontal i que g''(x) = 2x + 1.
a
Trobeu una funció polinòmica y = g(x) de grau 3 tal que talli l'eix de les ordenades en el punt (0, 5), que la recta tangent a y = g(x) en el punt d'abscissa x = 1 sigui horitzontal i que g''(x) = 2x + 1.1 pt
b
Comproveu que la funció f(x) = −x³ + 6x² − 16 té una arrel a x = 2 i que és estrictament creixent a l'interval (0, 4). Utilitzeu aquesta informació per a calcular l'àrea determinada per la funció f(x), l'eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = 4.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sigui la matriu X = [[a, 1, 0], [0, b, 1], [0, 0, c]], que depèn dels paràmetres a, b i c.
a
Calculeu les matrius X tals que X² = [[1, 0, 1], [0, 1, 0], [0, 0, 1]].1,5 pts
b
Determineu els valors de a, b i c perquè la matriu inversa de X sigui X⁻¹ = [[1/2, −1/2, −1/2], [0, 1, 1], [0, 0, −1]].1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Al pati d'una escola es vol crear una àrea de joc de 30 m² per als més petits en forma de trapezi rectangular, de manera que la base més gran mesuri el doble que la base més petita, tal com mostra la figura, i que el costat oblic respecte a les bases (D) sigui tan curt com sigui possible.
a
Justifiqueu que se satisfan les relacions següents: h = 20/x i D(x) = √(400/x² + x²).1 pt
b
Trobeu les dimensions del trapezi per a les quals la longitud del costat D és mínima.1,5 pts
Ver este ejercicio