Si sabem que f(x) talla l'eix de les abscisses en x = 1, calculeu l'expressió de la funció f(x).
Matemáticas IICataluñaPAU 2022Ordinaria
Matemáticas II · Cataluña 2022
6 ejercicios
Ejercicio 1
1
2,5 puntosSigui f'(x) = 3x² − 12x la derivada d'una funció f(x).
Calculeu l'abscissa del punt d'inflexió de f(x) i estudieu la concavitat de la funció.
Sabem que l'àrea del recinte limitat per la corba y = f''(x), l'eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = a, amb a > 2, és 15u². Calculeu el valor de a.
Ejercicio 2
2
2,5 puntosConsidereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a: {ax + 2y + 3z = 2; 2x + ay + z = a; x + y + 4z = 1}.
Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a.
Resoleu, si és possible, el sistema per al cas a = 2.
Ejercicio 3
3
2,5 puntosSigui la recta r definida per l'expressió següent: r: {x = 2 + λ; y = −1 + 3λ; z = 3 + λ}.
Determineu la posició relativa de la recta r respecte al pla π: x − 2y + 4z − 4 = 0. Si és paral·lela, calculeu la distància de r a π, i si és secant, calculeu el punt de tall.
Calculeu l'equació de la recta s perpendicular al pla π i que talla la recta r en un punt P, la primera coordenada del qual és 5 vegades més gran que la segona.
Ejercicio 4
4
2,5 puntosTrobeu una funció polinòmica y = g(x) de grau 3 tal que talli l'eix de les ordenades en el punt (0, 5), que la recta tangent a y = g(x) en el punt d'abscissa x = 1 sigui horitzontal i que g''(x) = 2x + 1.
Trobeu una funció polinòmica y = g(x) de grau 3 tal que talli l'eix de les ordenades en el punt (0, 5), que la recta tangent a y = g(x) en el punt d'abscissa x = 1 sigui horitzontal i que g''(x) = 2x + 1.
Comproveu que la funció f(x) = −x³ + 6x² − 16 té una arrel a x = 2 i que és estrictament creixent a l'interval (0, 4). Utilitzeu aquesta informació per a calcular l'àrea determinada per la funció f(x), l'eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = 4.
Ejercicio 5
5
2,5 puntosSigui la matriu X = [[a, 1, 0], [0, b, 1], [0, 0, c]], que depèn dels paràmetres a, b i c.
Calculeu les matrius X tals que X² = [[1, 0, 1], [0, 1, 0], [0, 0, 1]].
Determineu els valors de a, b i c perquè la matriu inversa de X sigui X⁻¹ = [[1/2, −1/2, −1/2], [0, 1, 1], [0, 0, −1]].
Ejercicio 6
6
2,5 puntosAl pati d'una escola es vol crear una àrea de joc de 30 m² per als més petits en forma de trapezi rectangular, de manera que la base més gran mesuri el doble que la base més petita, tal com mostra la figura, i que el costat oblic respecte a les bases (D) sigui tan curt com sigui possible.
Justifiqueu que se satisfan les relacions següents: h = 20/x i D(x) = √(400/x² + x²).
Trobeu les dimensions del trapezi per a les quals la longitud del costat D és mínima.