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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2025

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. NOTA IMPORTANTE: Las cuestiones se pueden hacer en cualquier orden. En cada cuestión se debe hacer solo la opción A o la opción B. La elección de A o B puede cambiar de una cuestión a otra. Si se responden las 2 OPCIONES de una cuestión, sólo se corregirá la primera cuestión contestada. La puntuación máxima de cada cuestión es 2,5 puntos. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Cuestión 1

Elija entre 1A y 1B.

Daniel quiere contratar a los músicos Darío, Hugo y José. El sueldo de Darío es el de Hugo multiplicado por un parámetro m>0m > 0. El sueldo de Hugo es el doble del de José. La suma del sueldo de José multiplicado por mm más el sueldo de Darío (sin multiplicar por mm) más el sueldo de Hugo (sin multiplicar por mm) es 600600 €.
a
Denotando por xx el sueldo de Darío, por yy el sueldo de Hugo y por zz el sueldo de José, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que representa los datos del ejercicio.0,75 pts
b
Justifique que con estos datos se puede conocer el sueldo de cada uno (que solo dependerá de mm).0,25 pts
c
Calcule la expresión general de cada sueldo (en función de mm), y lo que cobra cada uno para m=2m = 2.1,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Cuestión 1

Elija entre 1A y 1B.

Considere las matrices A=(2113)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, B=(1021)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} y C=(5050)C = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}.
a
Compruebe que las matrices AA y BB son regulares (o invertibles) y calcule sus matrices inversas.1,25 pts
b
Resuelva la ecuación AtXB=CA^t X B = C, donde AtA^t es la traspuesta de AA.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Cuestión 2

Elija entre 2A y 2B.

Considere el triángulo rectángulo de catetos xx e yy cuya hipotenusa mide 727\sqrt{2} cm.
Triángulo rectángulo de catetos x e y con hipotenusa 7√2
a
Demuestre que su área viene dada por la expresión f(x)=12x98−x2f(x) = \frac{1}{2} x \sqrt{98 - x^2}0,5 pts
b
Calcule las dimensiones que debe tener dicho triángulo para que su área sea la mayor posible. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?2 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Cuestión 2

Elija entre 2A y 2B.

Considere la función f(x)=ln⁡(x+1x)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x}\right).
a
Calcule la integral indefinida ∫f(x) dx\int f(x) \, dx1,5 pts
b
Compruebe que el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje OXOX entre los valores x=1x = 1 y x=2x = 2 es ln⁡(2716)\ln\left(\frac{27}{16}\right).1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Cuestión 3

Elija entre 3A y 3B.

Considere las rectas r:{x=1y=5+λz=λys:{x=7+3μy=−5+μz=7r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 5 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{y} \quad s: \begin{cases} x = 7 + 3\mu \\ y = -5 + \mu \\ z = 7 \end{cases}
a
Compruebe que se cruzan.0,5 pts
b
Halle la ecuación de la recta perpendicular a ambas.1,5 pts
c
Calcule la distancia entre rr y ss.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Cuestión 3

Elija entre 3A y 3B.

Considere los planos π1:x−y+z=0\pi_1: x - y + z = 0 y π2:x+y−z=2\pi_2: x + y - z = 2.
a
Calcule la ecuación paramétrica de la recta en la que se cortan π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
b
Halle la ecuación de la recta que pasa por P(1,2,3)P(1, 2, 3) y no corta ni a π1\pi_1 ni a π2\pi_2.0,75 pts
c
Calcule la proyección ortogonal de PP en π1\pi_1.0,75 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Cuestión 4

Elija entre 4A y 4B.

Considere dos urnas, U1U_1 y U2U_2, tales que en U1U_1 hay 2 bolas rojas y 3 verdes, y en U2U_2 hay 6 bolas rojas y 3 verdes. El experimento aleatorio consiste en sacar una bola de U1U_1, depositarla en U2U_2 y, a continuación, sacar una bola de U2U_2. Calcule la probabilidad de que:
a
Salga una bola roja en U2U_2 sabiendo que ha salido roja en U1U_1.0,5 pts
b
Salga una bola verde en U2U_2 sabiendo que ha salido roja en U1U_1.0,5 pts
c
Salga una bola verde en U2U_2.0,5 pts
d
Haya salido roja en U1U_1 sabiendo que ha salido roja en U2U_2.0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Cuestión 4

Elija entre 4A y 4B.

El 2%2\% de las piezas fabricadas por una máquina son defectuosas.
a
Considere el número de piezas en buen estado de un lote de 10 piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya exactamente 1 pieza defectuosa.1 pt
b
Considere el número de piezas en buen estado de un lote de 2000 piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya menos de 50 piezas defectuosas.1,5 pts
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