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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSNavarraPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Navarra 2017

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3,5 puntos
Una empresa fabrica y vende dos tipos de productos A y B. El precio de venta de una tonelada del producto A en el mercado es de 100 euros y el de una tonelada de B es de 120 euros. Para su elaboración se utilizan dos materias primas, M y N, de las que se disponen diariamente de 120 y 160 unidades respectivamente. Para fabricar una tonelada de A se necesitan 8 unidades de M y 4 unidades de N. Para elaborar una tonelada de B se necesitan 4 unidades de M y 8 unidades de N. El coste unitario asociado a la fabricación de cada producto es de 20 euros. Determine cuántas toneladas de cada producto deberá fabricar diariamente esta empresa si desea maximizar el beneficio, garantizando un nivel de fabricación total de al menos 15 unidades.
i
Plantee el problema.1,5 pts
ii
Resuélvalo gráficamente.1,5 pts
iii
Una nueva normativa en el sector de esta empresa exige que las emisiones contaminantes derivadas del proceso de fabricación no superen el nivel de 100 unidades de emisiones diarias. La fabricación de una tonelada de A genera 4 unidades de emisiones contaminantes y la de una tonelada de B genera 6 unidades. Analice gráficamente cómo afectaría a la política de fabricación el cumplimiento de la nueva normativa.0,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3,5 puntos
Dadas las matrices X=(311102)X = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} y Y=(201111)Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
a
Resuelva el sistema siguiente y compruebe si su solución coincide con las matrices anteriores XX e YY:{2A−3B=(02−1−1−31)3A−2B=(5311−24)\begin{cases} 2A - 3B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -1 & -3 & 1 \end{pmatrix} \\ 3A - 2B = \begin{pmatrix} 5 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \end{pmatrix} \end{cases}2,5 pts
b
Razone si la matriz X+YX+Y es invertible.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3,5 puntos
a
Calcule las siguientes integrales:2 pts
a.i
∫sen⁡(3x)(cos⁡(3x))2 dx\int \operatorname{sen}(3x) (\cos(3x))^2 \, dx1 pt
a.ii
∫(5+3x2+1x+2x3) dx\int (5 + 3x^2 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}) \, dx1 pt
b
Calcule dos funciones distintas cuya derivada sea f(x)=1x+2+e2xf(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}} + e^{2x}.1,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3,5 puntos
Dada la función f(x)=3x2−4f(x) = \frac{3}{x^2 - 4}, calcule:
i
Dominio y puntos de corte con los ejes.0,25 pts
ii
Asíntotas.0,75 pts
iii
Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.0,75 pts
iv
Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.0,75 pts
v
Con los datos que ha obtenido, dibuje su gráfica.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
En una caja hay 10 bolígrafos, de los cuales 3 son defectuosos. Se extraen 3 bolígrafos uno a uno y sin devolverlos a la caja.
i
Calcule la probabilidad de que los tres bolígrafos extraídos no tengan defectos.1 pt
ii
Calcule la probabilidad de que al menos un bolígrafo de entre los tres extraídos sea defectuoso.1 pt
iii
Calcule la probabilidad de que solamente un bolígrafo sea defectuoso.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3 puntos
En una región se selecciona una muestra de 60 jóvenes y se observa que 50 de ellos son lectores habituales.
Gráfica de la función de densidad y de distribución de la normal estándar con el área sombreada hasta el valor k.
i
Construya un intervalo de confianza para la proporción poblacional de jóvenes no lectores habituales, con un nivel de confianza del 99%.2 pts
ii
Analice el efecto que tiene en el intervalo la disminución del nivel de confianza.1 pt
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