Matemáticas II · Andalucía 2011

Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima.

Sea $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = 4 - x^2$.

Determina la función $f \colon (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ tal que $f''(x) = \frac{1}{x}$ y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $P(1, 1)$.

Calcula: $$\int \frac{x^3 + x^2}{x^2 + x - 2} dx$$

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son $|A| = \frac{1}{2}$ y $|B| = -2$. Halla:

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Considera los puntos $A(1, 0, 2)$ y $B(1, 2, -1)$.

Considera los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$ dados respectivamente por las ecuaciones $$3x - y + z - 4 = 0, \quad x - 2y + z - 1 = 0 \quad \text{y} \quad x + z - 4 = 0$$ Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto $P(3, 1, -1)$, es paralela al plano $\pi_1$ y corta a la recta intersección de los planos $\pi_2$ y $\pi_3$.