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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determina la función f ⁣:(0,+∞)→Rf \colon (0, +\infty) \to \mathbb{R} tal que f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x} y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,1)P(1, 1).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean AA y BB dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son ∣A∣=12|A| = \frac{1}{2} y ∣B∣=−2|B| = -2. Halla:
a
∣A3∣|A^3|0,5 pts
b
∣A−1∣|A^{-1}|0,5 pts
c
∣−2A∣|-2A|0,5 pts
d
∣ABt∣|AB^t|, siendo BtB^t la matriz traspuesta de BB.0,5 pts
e
El rango de BB.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(1,0,2)A(1, 0, 2) y B(1,2,−1)B(1, 2, -1).
a
Halla un punto CC de la recta de ecuación x−13=y2=z\frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = z que verifica que el triángulo de vértices AA, BB y CC tiene un ángulo recto en BB.1,25 pts
b
Calcula el área del triángulo de vértices AA, BB y DD, donde DD es el punto de corte del plano de ecuación 2x−y+3z=62x - y + 3z = 6 con el eje OXOX.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f ⁣:R→Rf \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2.
a
Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.1 pt
b
Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta x+2y−2=0x + 2y - 2 = 0.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula:∫x3+x2x2+x−2dx\int \frac{x^3 + x^2}{x^2 + x - 2} dx
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la matrizA=(0341−4−5−134)A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}
a
Demuestra que se verifica la igualdad A3=−IA^3 = -I, siendo II la matriz identidad de orden 3.0,5 pts
b
Justifica que AA es invertible y halla su inversa.1,25 pts
c
Calcula razonadamente A100A^{100}.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los planos π1\pi_1, π2\pi_2 y π3\pi_3 dados respectivamente por las ecuaciones3x−y+z−4=0,x−2y+z−1=0yx+z−4=03x - y + z - 4 = 0, \quad x - 2y + z - 1 = 0 \quad \text{y} \quad x + z - 4 = 0Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,1,−1)P(3, 1, -1), es paralela al plano π1\pi_1 y corta a la recta intersección de los planos π2\pi_2 y π3\pi_3.
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