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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Realiza cuatro preguntas de las ocho que se presentan. Se debe responder exclusivamente a cuatro de los problemas planteados. Si alguien responde a más de cuatro, solo se sumarán las cuatro peores puntuaciones.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{(a+1)x+(a2+a)y=2(−a−1)x−a2y=0ay+(a2−1)z=3−a\begin{cases} (a + 1) x + (a^2 + a) y = 2 \\ (- a - 1) x - a^2 y = 0 \\ a y + (a^2 - 1) z = 3 - a \end{cases}Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula la ecuación continua de una recta rr sabiendo que corta a la recta s≡{3x+y−z−7=0x+y−5=0s \equiv \begin{cases} 3x + y - z - 7 = 0 \\ x + y - 5 = 0 \end{cases}, es paralela al plano de ecuación π≡2x−y+3z−6=0\pi \equiv 2x - y + 3z - 6 = 0 y pasa por el punto P≡(−1,3,1)P \equiv (-1, 3, 1).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcula los siguientes límites:
a
lim⁡x→1(2+sen⁡3πx2)1x2−x\lim_{x \rightarrow 1} \left(2 + \sen \frac{3 \pi x}{2}\right)^{\frac{1}{x^2 - x}}1,25 pts
b
lim⁡x→+∞(x4−x2+1−x4−7)\lim_{x \rightarrow + \infty} \left(\sqrt{x^4 - x^2 + 1} - \sqrt{x^4 - 7}\right)1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la función f(x)=(1+sen⁡πx2)xf(x) = \left(1 + \sen \frac{\pi x}{2}\right)^x.
a
Demuestra que la función es continua en el intervalo [1,2][1, 2].0,75 pts
b
Demuestra que existe α∈(1,2)\alpha \in (1, 2) tal que f′(α)=0f'(\alpha) = 0. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.1,75 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sean AA y BB matrices 3×33 \times 3 tales que ∣A∣=∣B∣=12|A| = |B| = \frac{1}{2}. Calcula ∣C∣|C| teniendo en cuenta que la matriz CC es la siguiente:C=(2⋅At⋅B−1)2C = (2 \cdot A^t \cdot B^{-1})^2
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Los puntos A≡(−1,2,1)A \equiv (-1, 2, 1) y B≡(2,5,1)B \equiv (2, 5, 1) son dos vértices de un cuadrado. Halla los otros dos vértices sabiendo que están en la recta de ecuaciónr≡x−1=y−41=z+1−4r \equiv \frac{x}{-1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 1}{-4}
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Sea la función f(x)=(x+3)sen⁡(πx)ln⁡(x2−x+2)f(x) = (x + 3)^{\sen(\pi x)} \ln(x^2 - x + 2).
a
Demuestra que la función es continua en el intervalo [−1,0][-1, 0].1 pt
b
Demuestra que existe α∈(−1,0)\alpha \in (-1, 0) tal que f′(α)=−ln⁡2f'(\alpha) = -\ln 2. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:f(x)=sen⁡(πx) y g(x)=∣x2−x∣f(x) = \sen(\pi x) \text{ y } g(x) = |x^2 - x|Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.
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