Matemáticas II · Navarra 2020

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a + 1) x + (a^2 + a) y = 2 \\ (- a - 1) x - a^2 y = 0 \\ a y + (a^2 - 1) z = 3 - a \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Calcula la ecuación continua de una recta $r$ sabiendo que corta a la recta $s \equiv \begin{cases} 3x + y - z - 7 = 0 \\ x + y - 5 = 0 \end{cases}$, es paralela al plano de ecuación $\pi \equiv 2x - y + 3z - 6 = 0$ y pasa por el punto $P \equiv (-1, 3, 1)$.

Calcula los siguientes límites:

Sea la función $f(x) = \left(1 + \sen \frac{\pi x}{2}\right)^x$.

Sean $A$ y $B$ matrices $3 \times 3$ tales que $|A| = |B| = \frac{1}{2}$. Calcula $|C|$ teniendo en cuenta que la matriz $C$ es la siguiente: $$C = (2 \cdot A^t \cdot B^{-1})^2$$

Los puntos $A \equiv (-1, 2, 1)$ y $B \equiv (2, 5, 1)$ son dos vértices de un cuadrado. Halla los otros dos vértices sabiendo que están en la recta de ecuación $$r \equiv \frac{x}{-1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 1}{-4}$$

Sea la función $f(x) = (x + 3)^{\sen(\pi x)} \ln(x^2 - x + 2)$.

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones: $$f(x) = \sen(\pi x) \text{ y } g(x) = |x^2 - x|$$ Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.